Calcule o volume do sólido S=(x, y, z): 2 x <= z <= 2-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido definido por S={(x,y,z): 2x\le z\le 2 - x^2 - y^2}. O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla, em que precisamos encontrar a projeção D no plano xy e depois integrar a diferença entre as superfícies de topo e base.

Passo 2

Para achar a projeção D, impomos a condição 2x\le 2 - x^2 - y^2 e reorganizamos:
Isso é um círculo no plano xy. Para facilitar, fazemos a translação u = x + 1 e v = y, de modo que a inequação vire u^2 + v^2\le 3. Além disso, note que a altura em z se transforma em 3 - (u2+v2). Logo:

Passo 3

Agora passamos a coordenadas polares em (u,v): u = r\cos\theta, v = r\sin\theta, com 0\le r\le \sqrt3 e 0\le\theta\le 2\pi. A integral fica:
V = integral0^2pi!integral0^raiz3 (3 - r^2),r,dr,dtheta

Passo 4

Calculando primeiro em r:
integral0^raiz3 (3r - r^3),dr = l[tfrac3r^22 - tfracr^44r]0^raiz3 = tfrac94
Então em \theta:
V = integral0^2pi tfrac94 ,dtheta = tfrac94 cdot 2pi = tfrac9pi2

Resposta

tfrac9pi2

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