2 a^a Questão: Verdadeiro ou Falso?
A equação da trajetória do movimento de um projétil, lançado com velocidade inicial v0 e com um certo ângulo Theta é dada por:
y=tg theta cdot x-g2 v0^2 cdot cos ^2 theta cdot x^2
Sendo g a aceleração da gravidade. Supondo constante Theta, segue-se que y=f(x). Então a ALTURA MÁXIMA é dada por
ymáx=v0^2 cdot sen^2 theta2 g

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma questão que pede para a gente dizer se uma certa equação está certa ou errada. Estamos falando sobre o movimento de um projétil, tipo uma bola sendo lançada num ângulo. A matéria que a gente precisa usar aqui é a cinemática, que estuda o movimento. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular a altura máxima que o projétil alcança usando a equação da trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação da trajetória que foi dada:
y = tan theta cdot x - g2 v0^2 cdot cos^2 theta cdot x^2
Essa equação relaciona a altura y com a distância horizontal x . Nosso objetivo é encontrar a altura máxima ymáx á. Para isso, precisamos encontrar o ponto onde y atinge seu valor mais alto, ou seja, o ponto onde a derivada de y em relação a x é zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de y em relação a x . A derivada vai nos dizer a taxa de variação de y conforme x muda. Quando essa taxa for zero, significa que chegamos ao ponto mais alto.
dydx = tan theta - gv0^2 cdot cos^2 theta cdot x

Passo 4

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar o valor de x que nos dá a altura máxima:
0 = tan theta - gv0^2 cdot cos^2 theta cdot x
Resolvendo para x :
gv0^2 cdot cos^2 theta cdot x = tan theta x = v0^2 cdot cos^2 theta cdot tan thetag
Sabemos que tan theta = sin thetacos theta , então substituindo:
x = v0^2 cdot cos^2 theta cdot sin thetacos thetag = v0^2 cdot cos theta cdot sin thetag

Passo 5

Agora que temos o valor de x no ponto da altura máxima, vamos substituir esse valor na equação da trajetória para encontrar ymáx á:
ymáx = tan theta cdot x - g2 v0^2 cdot cos^2 theta cdot x^2 á
Substituindo x :
ymáx = tan theta cdot ( v0^2 cdot cos theta cdot sin thetag ) - g2 v0^2 cdot cos^2 theta cdot ( v0^2 cdot cos theta cdot sin thetag )^2 á

Passo 6

Simplificando a expressão:
Primeiro termo:
tan theta cdot v0^2 cdot cos theta cdot sin thetag = sin thetacos theta cdot v0^2 cdot cos theta cdot sin thetag = v0^2 cdot sin^2 thetag
Segundo termo:
g2 v0^2 cdot cos^2 theta cdot ( v0^2 cdot cos theta cdot sin thetag )^2 = g2 v0^2 cdot cos^2 theta cdot v0^4 cdot cos^2 theta cdot sin^2 thetag^2 = v0^2 cdot sin^2 theta2 g
Então, juntando os dois termos:
ymáx = v0^2 cdot sin^2 thetag - v0^2 cdot sin^2 theta2 g = v0^2 cdot sin^2 theta2 g á

Resposta

Verdadeiro. A expressão para a altura máxima está correta:
ymáx = v0^2 cdot sin^2 theta2 g á

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