(a) (valor 2,0) Esbuce o gráfico da função f(x)=l-x2+1, se x<-2 3, se x=-2 -x^2-2 x+2, se -2 <= x<0 e^x, se x >= 0
(b) (valor 0,5 cada) Calcule os limites laterais, lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) para a=-2 e a=0. Caso exista, determine o limite lim x a f(x).

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= -tfracx2+1, & x<-2, 3, & x=-2, -x^2-2x+2, & -2<x<0, e^x, & x>=0,
e pede (a) o esboço do gráfico e (b) os limites laterais em a=-2 e a=0, além do limite geral quando existir.

Passo 2

Analiso cada ramo para identificar pontos-chaves e continuidade:
  1. Para x<-2: é a reta ;y=-tfracx2+1. Em x=-2 ela daria y=2, mas como o domínio deste ramo é aberto em -2, teremos um círculo aberto em (-2,2).
  2. Em x=-2: há um ponto isolado ( -2,3).
  3. Para -2<x<0: é a parábola ;y=-x^2-2x+2. Calculo os valores nos extremos:
    ,xto-2^+:;-(-2)^2-2(-2)+2=2, ou seja, há um círculo aberto em (-2,2).
    ,xto0^-:;-0-0+2=2, círculo aberto em (0,2).
    O vértice fica em x=-1, com y=-1+2+2=3.
  4. Para x>=0: é o exponencial y=e^x. Em x=0 temos y=1, ponto fechado em (0,1).

Passo 3

Esboço do gráfico:
  • Ramo linear decrescente para x<-2, interrompido em (-2,2) por um ponto aberto.
  • Ponto isolado em (-2,3).
  • Parábola côncava para baixo em -2<x<0, atingindo 3 no vértice (-1,3) e voltando a 2 em xto0^- (ponto aberto).
  • Exponencial crescente para x>=0, iniciando em (0,1) com ponto fechado.

Passo 4

Limites em a=-2:
limxto -2^-f(x) vem da reta, que em x=-2 valeria 2. Logo
limxto -2^-f(x)=2
limxto -2^+f(x) vem da parábola, que em xto -2^+ também tende a 2. Logo
limxto -2^+f(x)=2
Como os dois laterais coincidem,
limxto -2f(x)=2,
mas ,f(-2)=3, há descontinuidade do tipo salto pontual.

Passo 5

Limites em a=0:
limxto 0^-f(x) vem da parábola, em xto0^- 2.
limxto 0^+f(x) vem do exponencial, em xto0^+ 1.
Como 2neq1, o limite bilateral em 0 não existe.

Resposta

Em ,a=-2:
limxto -2^-f(x)=2,
limxto -2^+f(x)=2,
limxto -2f(x)=2 (existe salto porque f(-2)=3).
Em ,a=0:
limxto 0^-f(x)=2,
limxto 0^+f(x)=1,
limxto 0f(x) não existe.

Exercícios relacionados