Calcule o volume do sólido 16 pi3-649. Resp: .

Passo 1

O problema pede o volume do sólido E definido pela interseção da esfera de raio 2, dada por x^2+y^2+z^2<=4, com o cilindro vertical definido por x^2+y^2<=2y. Vamos usar integração tripla em coordenadas cilíndricas (polares no plano xy mais z) para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, projetamos E no plano xy. A condição x^2+y^2<=2y pode ser reescrita completando o quadrado como x^2+(y-1)^2<=1, ou em coordenadas polares x = r,costheta, y=r,sintheta fica
r^2 <= 2rsintheta Longrightarrow r<=2sintheta

Passo 3

Como precisamos de r>=0, a desigualdade só faz sentido para sintheta>=0, ou seja 0<=theta<=pi. Assim, na projeção no plano xy temos
0<=theta<=pi, 0<= r<=2sintheta

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas, a esfera impõe z^2<=4-r^2, ou seja
-raiz4-r^2<= z<=raiz4-r^2

Passo 5

Logo o volume é
V=integraltheta=0^piintegralr=0^2sinthetaintegralz=-raiz4-r^2^raiz4-r^2r,dz,dr,dtheta

Passo 6

Integramos primeiro em z:
integral-raiz4-r^2^raiz4-r^2dz = 2raiz4-r^2, portanto
V=integral0^piintegral0^2sintheta2rraiz4-r^2,dr,dtheta

Passo 7

Para a integral em r, fazemos a substituição u=4-r^2, du=-2r,dr. Quando r=0, u=4; quando r=2sintheta, u=4-4sin^2theta=4cos^2theta. Temos
integral0^2sinthetarraiz4-r^2,dr = -tfrac12integralu=4^4cos^2thetaraizu,du = -tfrac12cdottfrac23l[u^3/2r]4^4cos^2theta = -tfrac13l[(4cos^2theta)^3/2-4^3/2r]

Passo 8

Notando que (4cos^2theta)^3/2=(2|costheta|)^3=8|cos^3theta| e 4^3/2=8, resulta
integral0^2sinthetarraiz4-r^2,dr = tfrac83l(1-|cos^3theta|r)

Passo 9

Então
V=2integral0^pi83l(1-|cos^3theta|r)dtheta = 163integral0^pil(1-|cos^3theta|r)dtheta

Passo 10

Para avaliar integral0^pi|cos^3theta|,dtheta usamos simetria:
integral0^pi|cos^3theta|dtheta =2integral0^pi/2cos^3theta,dtheta =2cdottfrac23=tfrac43, e integral0^pi1,dtheta=pi. Logo
V=163l(pi - tfrac43r)=16pi3-649

Resposta

16pi3-649

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