Calcule o volume do sólido
. Resp:
.
Passo 1
O problema pede o volume do sólido E definido pela interseção da esfera de raio 2, dada por
, com o cilindro vertical definido por
. Vamos usar integração tripla em coordenadas cilíndricas (polares no plano
mais
) para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, projetamos E no plano
. A condição
pode ser reescrita completando o quadrado como
, ou em coordenadas polares
,
fica
Passo 3
Como precisamos de
, a desigualdade só faz sentido para
, ou seja
. Assim, na projeção no plano
temos
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas, a esfera impõe
, ou seja
Passo 5
Logo o volume é
Passo 6
Integramos primeiro em
:
Passo 7
Para a integral em
, fazemos a substituição
,
. Quando
,
; quando
,
. Temos
Passo 8
Notando que
e
, resulta
Passo 9
Então
Passo 10
Para avaliar
usamos simetria: