Use o critério de diferenciabilidade para verificar que as funções a seguir, siōo diferenciáveis
e calcule
.
d)
d)
Passo 1
Temos a função
definida por
. O conteúdo aqui é o critério de diferenciabilidade em
: se as derivadas parciais existem e são contínuas, então a função é diferenciável. Precisamos calcular
e
e verificar sua continuidade.
Passo 2
Para achar a derivada parcial de
em relação a
, tratamos
como constante. A derivada de
em relação a
é
e, pela regra da cadeia, a de
é
. Portanto:
Passo 3
Para a derivada parcial em relação a
, tratamos
como constante. A de
em relação a
é
e, aplicando regra da cadeia em
, obtemos
. Logo:
Passo 4
As funções
e
são combinações de polinômios e exponenciais, todas contínuas em
. Pelo critério de diferenciabilidade,
é diferenciável em
.