Use o critério de diferenciabilidade para verificar que as funções a seguir, siōo diferenciáveis em R^2 e calcule f^prime(x, y).
d) f(x, y)=x^3 y+e^x y^2

Passo 1

Temos a função f:R^2toR definida por f(x,y)=x^3y+e^x y^2. O conteúdo aqui é o critério de diferenciabilidade em R^2: se as derivadas parciais existem e são contínuas, então a função é diferenciável. Precisamos calcular fx e fy e verificar sua continuidade.

Passo 2

Para achar a derivada parcial de f em relação a x, tratamos y como constante. A derivada de x^3y em relação a x é 3x^2y e, pela regra da cadeia, a de e^x y^2 é e^x y^2cdot(y^2). Portanto:
partial fpartial x(x,y)=3x^2y+y^2e^x y^2

Passo 3

Para a derivada parcial em relação a y, tratamos x como constante. A de x^3y em relação a y é x^3 e, aplicando regra da cadeia em e^x y^2, obtemos e^x y^2cdot(2xy). Logo:
partial fpartial y(x,y)=x^3+2xy,e^x y^2

Passo 4

As funções 3x^2y+y^2e^x y^2 e x^3+2xy,e^x y^2 são combinações de polinômios e exponenciais, todas contínuas em R^2. Pelo critério de diferenciabilidade, f é diferenciável em R^2.

Resposta

f'(x,y)=l(3x^2y+y^2e^x y^2,;x^3+2xy,e^x y^2r)

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