Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a sequência $ a_{n} = \frac{n^{2} \cdot 2^{n}}{n!} $ e precisa descobrir se ela converge, ou seja, se ela se aproxima de algum número específico conforme $ n $ cresce. Para resolver isso, vamos usar técnicas algébricas, como comparar quais termos crescem mais rápido quando $ n $ aumenta muito. Vamos precisar entender como o numerador e o denominador da fração se comportam quando $ n $ fica grande.
Passo 2
Vamos dar uma olhada no numerador e no denominador separadamente. No numerador, temos $ n^{2} \cdot 2^{n} $. Aqui, $ n^{2} $ cresce de forma quadrática e $ 2^{n} $ cresce de forma exponencial. Já no denominador, temos $ n! $, que é o fatorial de $ n $. O fatorial cresce ainda mais rápido do que funções exponenciais para valores grandes de $ n $.
Passo 3
Para comparar melhor essas taxas de crescimento, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o limite de uma sequência observando a razão entre termos consecutivos. Ou seja, calculamos:
Vamos substituir $ a_{n} $ na fórmula:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite dessa razão conforme $ n $ vai para o infinito:
Passo 6
Como o limite da razão $ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} $ é 0, que é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a sequência $ a_{n} $ converge e o seu limite é 0.
Resposta
A sequência $ a_{n} = \frac{n^{2} \cdot 2^{n}}{n!} $ é convergente e o seu limite é 0.