Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
an=n^2 2^nn!

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a sequência $ a_{n} = \frac{n^{2} \cdot 2^{n}}{n!} $ e precisa descobrir se ela converge, ou seja, se ela se aproxima de algum número específico conforme $ n $ cresce. Para resolver isso, vamos usar técnicas algébricas, como comparar quais termos crescem mais rápido quando $ n $ aumenta muito. Vamos precisar entender como o numerador e o denominador da fração se comportam quando $ n $ fica grande.

Passo 2

Vamos dar uma olhada no numerador e no denominador separadamente. No numerador, temos $ n^{2} \cdot 2^{n} $. Aqui, $ n^{2} $ cresce de forma quadrática e $ 2^{n} $ cresce de forma exponencial. Já no denominador, temos $ n! $, que é o fatorial de $ n $. O fatorial cresce ainda mais rápido do que funções exponenciais para valores grandes de $ n $.

Passo 3

Para comparar melhor essas taxas de crescimento, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o limite de uma sequência observando a razão entre termos consecutivos. Ou seja, calculamos:
limn to infty an+1an
Vamos substituir $ a_{n} $ na fórmula:
an

Passo 4

Simplificando a expressão:
an+1an = (n+1)^2 cdot 2 cdot 2^n(n+1) cdot n! cdot n!n^2 cdot 2^n = (n+1)^2 cdot 2(n+1) cdot n^2 = 2(n+1)n^2

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa razão conforme $ n $ vai para o infinito:
n

Passo 6

Como o limite da razão $ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} $ é 0, que é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a sequência $ a_{n} $ converge e o seu limite é 0.

Resposta

A sequência $ a_{n} = \frac{n^{2} \cdot 2^{n}}{n!} $ é convergente e o seu limite é 0.

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