Nos problemas abaixo, usar o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução de cada equação em questão.
t^2 y^prime prime-(t-0,1875) y=0, t>0 ; y1(t)=raiz[4]t cdot e^2 raizt

Passo 1

O enunciado pede uma segunda solução da equação
t^2y'' - (t - 0,1875),y = 0, t>0,
sabendo que uma solução é
y1(t)=t^1/4e^2raizt
O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem e vamos usar o método de redução de ordem, que exige escrever a equação na forma
y'' + P(t),y' + Q(t),y = 0
e aplicar
y2(t)=y1(t),integral e^-integral P(t),dty1(t)^2,dt

Passo 2

Dividindo a equação original por t^2 obtemos
y'' - t - 0,1875t^2,y = 0,
logo
P(t)=0, Q(t)=-t-0,1875t^2

Passo 3

Como P(t)=0, temos
e^-integral P(t),dt=1
e a fórmula de redução de ordem simplifica para
y2(t)=y1(t),integral 1y1(t)^2,dt

Passo 4

Calculamos
1y1^2 =1l(t^1/4e^2raiztr)^2 =t^-1/2,e^-4raizt
Logo precisamos de
integral t^-1/2e^-4raizt,dt
Fazendo u=raizt, temos t=u^2 e dt=2u,du, então
t^-1/2dt = 1ucdot 2u,du = 2,du
e
integral t^-1/2e^-4raizt,dt = integral 2e^-4u,du = -tfrac12,e^-4u + C = -tfrac12,e^-4raizt + C

Passo 5

Escolhendo a constante de integração para gerar uma solução independente e desprezando o fator -tfrac12 (já que qualquer múltiplo serve), obtemos
y2(t) = y1(t),l(e^-4raiztr) = t^1/4e^2raizt ;e^-4raizt = t^1/4e^-2raizt

Resposta

A segunda solução independente é
y2(t)=t^1/4e^-2raizt

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