Nos problemas abaixo, use o Teorema de Abel e a fórmula y2(x)=y1(x) cdot integral W[y1, y2](x)(y1(x))^2 d x para expressar a solução geral de cada equação em questão.
t^2 y^prime prime+3 t y^prime+y=0, t>0 ; y1(t)=1t

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um exercício de equações diferenciais onde precisamos encontrar a solução geral usando o Teorema de Abel e uma fórmula específica. A equação que estamos trabalhando é:
t^2 y'' + 3 t y' + y = 0, t > 0
Já sabemos que uma solução particular dessa equação é y1(t) = 1t. Para resolver, vamos usar um método que envolve o Teorema de Abel e encontrar uma segunda solução que nos ajudará a construir a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão. Dividindo tudo por t^2, a equação fica:
y'' + 3t y' + 1t^2 y = 0
Aqui, identificamos os coeficientes:
  • P(t) = 3t
  • Q(t) = 1t^2

Passo 3

O Teorema de Abel nos ajuda a encontrar o Wronskiano W(y1, y2) de duas soluções lineares da equação. A fórmula de Abel é:
W(t) = W(y1, y2)(t) = C cdot e^-integral P(t) dt
Onde C é uma constante. Vamos calcular essa integral.

Passo 4

Vamos calcular a integral de P(t):
integral P(t) dt = integral 3t dt = 3 ln t = ln t^3
Então, a expressão para o Wronskiano fica:
W(t) = C cdot e^-ln t^3 = C cdot t^-3
Podemos simplificar definindo C = 1 para facilitar os cálculos:
W(t) = 1t^3

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula fornecida para encontrar a segunda solução y2(t):
y2(t) = y1(t) cdot integral W(y1, y2)(t)[y1(t)]^2 dt
Substituindo y1(t) = 1t e W(t) = 1t^3 na fórmula:
y2(t) = 1t cdot integral 1t^3(1t)^2 dt = 1t cdot integral 1t^31t^2 dt
Simplificando a fração dentro da integral:
1t^31t^2 = 1t^3 cdot t^2 = 1t
Então, a expressão fica:
y2(t) = 1t cdot integral 1t dt

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
integral 1t dt = ln |t| + C
Como t > 0, podemos simplificar para ln t:
y2(t) = 1t cdot ln t

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das duas soluções encontradas:
y(t) = C1 y1(t) + C2 y2(t) = C1 cdot 1t + C2 cdot ln tt

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1t + C2 ln tt

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