Nos problemas abaixo, use o Teorema de Abel e a fórmula
para expressar a solução geral de cada equação em questão.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um exercício de equações diferenciais onde precisamos encontrar a solução geral usando o Teorema de Abel e uma fórmula específica. A equação que estamos trabalhando é:
Já sabemos que uma solução particular dessa equação é
. Para resolver, vamos usar um método que envolve o Teorema de Abel e encontrar uma segunda solução que nos ajudará a construir a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão. Dividindo tudo por
, a equação fica:
Aqui, identificamos os coeficientes:
Passo 3
O Teorema de Abel nos ajuda a encontrar o Wronskiano
de duas soluções lineares da equação. A fórmula de Abel é:
Onde
é uma constante. Vamos calcular essa integral.
Passo 4
Vamos calcular a integral de
:
Então, a expressão para o Wronskiano fica:
Podemos simplificar definindo
para facilitar os cálculos:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula fornecida para encontrar a segunda solução
:
Substituindo
e
na fórmula:
Simplificando a fração dentro da integral:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Como
, podemos simplificar para
:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das duas soluções encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: