Calcule o volume do sólido definido pelas desigualdades 1 <= x^2+y^2 <= 9 e raizx^2+y^2 <= z <= 6. Sugestão: usar coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume de um sólido definido pelas desigualdades 1 <= x^2+y^2 <= 9 e raizx^2+y^2 <= z <= 6. A gente vai usar coordenadas cilíndricas para facilitar essa conta. Pra isso, precisamos entender como converter as desigualdades para coordenadas cilíndricas e definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a transformação para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas (r, theta, z), temos:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
Além disso, a distância r do ponto à origem é dada por r = raizx^2+y^2.

Passo 3

Agora, vamos reescrever as desigualdades no sistema cilíndrico:
  1. A desigualdade 1 <= x^2+y^2 <= 9 fica 1 <= r^2 <= 9. Tirando a raiz, temos 1 <= r <= 3.
  2. A desigualdade raizx^2+y^2 <= z <= 6 fica r <= z <= 6.
Também, o ângulo theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência.

Passo 4

Com os limites definidos, vamos montar a integral tripla para calcular o volume. Lembrando que, em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é r , dz , dr , dtheta.
V = integral0^2pi integral1^3 integralr^6 r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em z:
integralr^6 r , dz = r cdot (6 - r)
  1. Integral em r:
integral1^3 r (6 - r) , dr = integral1^3 (6r - r^2) , dr = [3r^2 - 13r^3]1^3 = (27 - 9) - (3 - 13) = 18 - 83 = 463
  1. Integral em theta:
integral0^2pi 463 , dtheta = 463 cdot 2pi = 92pi3

Resposta

O volume do sólido é igual a dfrac92pi3 unidades cúbicas.

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