Calcule o volume do sólido definido pelas desigualdades
e
. Sugestão: usar coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume de um sólido definido pelas desigualdades
e
. A gente vai usar coordenadas cilíndricas para facilitar essa conta. Pra isso, precisamos entender como converter as desigualdades para coordenadas cilíndricas e definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a transformação para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas
, temos:
Além disso, a distância
do ponto à origem é dada por
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever as desigualdades no sistema cilíndrico:
- A desigualdade
fica . Tirando a raiz, temos . - A desigualdade
fica .
Também, o ângulo
varia de
a
para cobrir toda a circunferência.
Passo 4
Com os limites definidos, vamos montar a integral tripla para calcular o volume. Lembrando que, em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Resposta
O volume do sólido é igual a
unidades cúbicas.