Considere a integral onde B é o sólido definido pelas desigualdades . Determine os extremos de integração, e escreva as integrais iteradas usando coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas. Calcule esta integral usando o sistema de coordenadas que achar mais conveniente.
Passo 1
Ok, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral tripla , onde é um sólido definido pelas seguintes condições:
Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas em diferentes sistemas de coordenadas: cartesianas, cilíndricas e esféricas. Precisamos determinar os limites de integração para cada sistema e então calcular a integral no sistema mais conveniente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . A condição sugere uma paraboloide aberta para cima, já que conforme aumenta, o raio da base também aumenta. A segunda condição define uma esfera de raio centrada na origem. E limita a região para a parte superior da esfera.
Passo 3
Vamos determinar os extremos de integração em coordenadas cartesianas. Nesse sistema, varia de até . Os limites para e são definidos pela interseção das duas superfícies.
Para encontrar a interseção, igualamos :
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Resolvendo isso, encontramos que a interseção ocorre quando . Então, em coordenadas cartesianas, os limites seriam:
Passo 4
Agora, vamos converter para coordenadas cilíndricas, que costumam ser mais convenientes para regiões com simetria circular. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
O elemento de volume se torna .
As desigualdades ficam:
Encontrando os limites:
varia de a (para cobrir toda a circunferência).
varia de a (já que a interseção ocorre quando ).
Para , para cada , varia de até .
Então, a integral em coordenadas cilíndricas fica:
Passo 5
Vamos também configurar em coordenadas esféricas, caso seja necessário. Nas coordenadas esféricas:
O elemento de volume se torna .
As desigualdades se transformam em:
Após manipulações, determinamos os limites para , e .
Passo 6
Vamos escolher as coordenadas cilíndricas para calcular a integral, pois a simetria circular facilita os cálculos.