Considere a integral integral triplaB z dx dy d z onde B é o sólido definido pelas desigualdades x^2+y^2 <= z, x^2+y^2+ z^2 <= 2, z >= 0. Determine os extremos de integração, e escreva as integrais iteradas usando coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas. Calcule esta integral usando o sistema de coordenadas que achar mais conveniente.

Passo 1

Ok, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral tripla integral triplaB z , dx , dy , dz, onde B é um sólido definido pelas seguintes condições:
  • x^2 + y^2 <= z
  • x^2 + y^2 + z^2 <= 2
  • z >= 0
Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas em diferentes sistemas de coordenadas: cartesianas, cilíndricas e esféricas. Precisamos determinar os limites de integração para cada sistema e então calcular a integral no sistema mais conveniente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração B. A condição x^2 + y^2 <= z sugere uma paraboloide aberta para cima, já que conforme z aumenta, o raio da base x^2 + y^2 também aumenta. A segunda condição x^2 + y^2 + z^2 <= 2 define uma esfera de raio raiz2 centrada na origem. E z >= 0 limita a região para a parte superior da esfera.

Passo 3

Vamos determinar os extremos de integração em coordenadas cartesianas. Nesse sistema, z varia de x^2 + y^2 até raiz2 - x^2 - y^2. Os limites para x e y são definidos pela interseção das duas superfícies.
Para encontrar a interseção, igualamos z:
x^2 + y^2 = raiz2 - x^2 - y^2
Elevando ao quadrado ambos os lados:
(x^2 + y^2)^2 = 2 - x^2 - y^2
Resolvendo isso, encontramos que a interseção ocorre quando x^2 + y^2 = 1. Então, em coordenadas cartesianas, os limites seriam:
-1 <= x <= 1
-raiz1 - x^2 <= y <= raiz1 - x^2
x^2 + y^2 <= z <= raiz2 - x^2 - y^2

Passo 4

Agora, vamos converter para coordenadas cilíndricas, que costumam ser mais convenientes para regiões com simetria circular. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta
y = r sin theta
z = z
O elemento de volume dx , dy , dz se torna r , dr , dtheta , dz.
As desigualdades ficam:
r^2 <= z
r^2 + z^2 <= 2
z >= 0
Encontrando os limites:
  • theta varia de 0 a 2pi (para cobrir toda a circunferência).
  • r varia de 0 a 1 (já que a interseção ocorre quando r = 1).
  • Para z, para cada r, varia de r^2 até raiz2 - r^2.
Então, a integral em coordenadas cilíndricas fica:
integral0^2pi integral0^1 integralr^2^raiz2 - r^2 z cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos também configurar em coordenadas esféricas, caso seja necessário. Nas coordenadas esféricas:
O elemento de volume se torna .
As desigualdades se transformam em:
Após manipulações, determinamos os limites para , e .

Passo 6

Vamos escolher as coordenadas cilíndricas para calcular a integral, pois a simetria circular facilita os cálculos.
A integral fica:
integral0^2pi integral0^1 integralr^2^raiz2 - r^2 z cdot r , dz , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a z:
integralr^2^raiz2 - r^2 z cdot r , dz = r [ z^22 ]r^2^raiz2 - r^2 = r ( 2 - r^22 - r^42 ) = r2 (2 - r^2 - r^4)
Agora, integremos em relação a r:
integral0^1 r2 (2 - r^2 - r^4) , dr = 12 [ integral0^1 2r , dr - integral0^1 r^3 , dr - integral0^1 r^5 , dr ]
= 12 [ r^2 |0^1 - r^44 |0^1 - r^66 |0^1 ] = 12 ( 1 - 14 - 16 ) = 12 ( 1212 - 312 - 212 ) = 12 cdot 712 = 724
Por fim, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 724 , dtheta = 724 cdot 2pi = 7pi12

Resposta

O valor da integral tripla é 7pi12.

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