Use coordenadas polares para calcular
\iint_{D}\left(x^{3}+y^{2}\right) d A
onde D é a regiāo do primeiro quadrante limitada pelas retas x=0 e y=x e pelo círculo x^{2}+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\bigl(x^{3}+y^{2}\bigr)\,dA
onde D é a região do primeiro quadrante limitada por x=0, por y=x e pelo círculo x^{2}+y^{2}=4.
O conteúdo aqui é a mudança para coordenadas polares, onde x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares, D corresponde a
0\le \theta\le \frac{\pi}{4}, \quad 0\le r\le 2,
pois o círculo dá r=2 e a reta y=x \theta=\pi/4.

Passo 3

Substituindo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e o jacobiano r, a integral vira
\int_{0}^{\pi/4}\!\!\int_{0}^{2}\Bigl((r\cos\theta)^{3}+(r\sin\theta)^{2}\Bigr)\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi/4}\!\!\int_{0}^{2}\bigl(r^{4}\cos^{3}\theta + r^{3}\sin^{2}\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em r:
\int_{0}^{2}r^{4}\,dr = \frac{2^{5}}{5}=\frac{32}{5}, \quad \int_{0}^{2}r^{3}\,dr = \frac{2^{4}}{4}=4.
Logo a integral passa a ser
\int_{0}^{\pi/4}\Bigl(\tfrac{32}{5}\cos^{3}\theta + 4\sin^{2}\theta\Bigr)\,d\theta.

Passo 5

Separamos em duas integrais em \theta:
\frac{32}{5}\int_{0}^{\pi/4}\cos^{3}\theta\,d\theta \;+\; 4\int_{0}^{\pi/4}\sin^{2}\theta\,d\theta.
  1. Para \displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\cos^{3}\theta\,d\theta, use u=\sin\theta:
\int_{0}^{\pi/4}\cos^{3}\theta\,d\theta =\int_{0}^{\sqrt2/2}(1-u^{2})\,du =\Bigl[u-\tfrac{u^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{\sqrt2/2} =\frac{5\sqrt2}{12}.
  1. Para \displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\sin^{2}\theta\,d\theta, use identidade ou fórmula direta:
\int_{0}^{\pi/4}\sin^{2}\theta\,d\theta =\Bigl[\tfrac{\theta}{2}-\tfrac{\sin2\theta}{4}\Bigr]_{0}^{\pi/4} =\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}.

Passo 6

Substituindo de volta:
\frac{32}{5}\cdot\frac{5\sqrt2}{12} \;+\; 4\Bigl(\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\Bigr) = \frac{32\sqrt2}{12} + \frac{4\pi}{8}-1 = \frac{8\sqrt2}{3}+\frac{\pi}{2}-1.

Resposta

\iint_{D}\bigl(x^{3}+y^{2}\bigr)\,dA = \frac{8\sqrt2}{3}+\frac{\pi}{2}-1.

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