Use coordenadas polares para calcular
onde
é a regiāo do primeiro quadrante limitada pelas retas
e
e pelo círculo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região do primeiro quadrante limitada por
, por
e pelo círculo
.
O conteúdo aqui é a mudança para coordenadas polares, onde ,
e
.
O conteúdo aqui é a mudança para coordenadas polares, onde
Passo 2
Em coordenadas polares,
corresponde a
pois o círculo dá
e a reta
dá
.
Passo 3
Substituindo
,
e o jacobiano
, a integral vira
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Logo a integral passa a ser
Passo 5
Separamos em duas integrais em
:
- Para
, use :
- Para
, use identidade ou fórmula direta:
Passo 6
Substituindo de volta: