Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies: y=x^2, z=0, z=4 e y=9.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
y = x^2, y = 9, z = 0, z = 4
Aqui vamos usar integrais triplas para calcular volumes, projetando a região no plano xy e depois integrando em z.

Passo 2

A projeção da região no plano xy é
R = (x,y)mid x^2<= y<= 9
Como y = x^2 e y=9 se interceptam em x^2=9, temos xin[-3,3].

Passo 3

Escrevemos o volume como integral tripla
V = integral triplaV dV = integralx=-3^3integraly=x^2^9integralz=0^4 dz,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em z, já que os limites são constantes:
integralz=0^4dz = 4,
logo
V = 4 integralx=-3^3integraly=x^2^9dy,dx

Passo 5

Agora integramos em y:
integraly=x^2^9dy = 9 - x^2,
então
V = 4 integralx=-3^3(9 - x^2),dx

Passo 6

A função 9-x^2 é par, logo
integral-3^3(9 - x^2),dx = 2integral0^3(9 - x^2),dx = 2l[9x - tfracx^33r]0^3 = 2(27 - 9) = 36
Portanto
V = 4 times 36 = 144

Resposta

O volume do sólido é 144.

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