Exercício 6. Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:
f(x, y)=raiz4-x^2-y^2, P(1,1)

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente de
f(x,y)=raiz4 - x^2 - y^2
no ponto P(1,1). Para isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia, já que f é composta pela raiz quadrada de uma função de x e y.

Passo 2

Cálculo das derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y) = 12(4 - x^2 - y^2)^-tfrac12cdot(-2x) = -xraiz4 - x^2 - y^2
partial fpartial y(x,y) = 12(4 - x^2 - y^2)^-tfrac12cdot(-2y) = -yraiz4 - x^2 - y^2

Passo 3

Agora avaliamos em P(1,1). Primeiro note que
raiz4 - 1^2 - 1^2 = raiz2
Logo,
partial fpartial x(1,1) = -1raiz2, partial fpartial y(1,1) = -1raiz2

Resposta

nabla f(1,1) = l(-tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r)

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