Calcule o volume do sólido formado pela interseção das curvas
,
e
ao serem rotacionadas em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular o volume de um sólido formado pela interseção das curvas
,
,
e
, quando esse sólido é girado em torno do eixo
. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente o método das cascas cilíndricas, que é ótimo para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas envolvidas:
-
: é o eixo . -
: é uma linha vertical no ponto . -
: é uma parábola que abre para cima. -
: é uma reta com inclinação positiva.
Vamos encontrar os pontos de interseção entre
e
para determinar os limites de integração.
Passo 3
Igualando
e
:
Resolvendo a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como estamos considerando
entre 0 e 1, o ponto de interseção relevante é
, mas como
é o limite, vamos usar
como nosso ponto de integração.
Passo 4
Para calcular o volume usando o método das cascas cilíndricas, a fórmula é:
Onde:
-
é o raio da casca. -
é a altura da casca. -
e são os limites de integração, aqui de 0 a 1.
Passo 5
Substituindo as funções e os limites na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo:
Então, a integral completa fica:
Passo 7
Calculando os valores nos limites
e
:
Para :
Para
Convertendo para o mesmo denominador:
Para
, todos os termos são zero.
Passo 8
Substituindo na fórmula do volume:
Resposta
O volume do sólido formado é
unidades cúbicas.