Calcule o volume do sólido formado pela interseção das curvas x=0, x=1, h(x)=x^2 e g(x)=x+1 ao serem rotacionadas em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular o volume de um sólido formado pela interseção das curvas x=0 , x=1 , h(x)=x^2 e g(x)=x+1 , quando esse sólido é girado em torno do eixo y . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente o método das cascas cilíndricas, que é ótimo para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas envolvidas:
  • x=0 : é o eixo y .
  • x=1 : é uma linha vertical no ponto x=1 .
  • h(x)=x^2 : é uma parábola que abre para cima.
  • g(x)=x+1 : é uma reta com inclinação positiva.
Vamos encontrar os pontos de interseção entre h(x) e g(x) para determinar os limites de integração.

Passo 3

Igualando h(x) e g(x) :
x^2 = x + 1
Resolvendo a equação:
x^2 - x - 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52
Como estamos considerando x entre 0 e 1, o ponto de interseção relevante é x = 1 + raiz52 , mas como x=1 é o limite, vamos usar x=1 como nosso ponto de integração.

Passo 4

Para calcular o volume usando o método das cascas cilíndricas, a fórmula é:
V = 2pi integrala^b x cdot [g(x) - h(x)] , dx
Onde:
  • x é o raio da casca.
  • g(x) - h(x) é a altura da casca.
  • a e b são os limites de integração, aqui de 0 a 1.

Passo 5

Substituindo as funções e os limites na fórmula:
V = 2pi integral0^1 x cdot [(x + 1) - x^2] , dx
Simplificando a expressão dentro da integral:
V = 2pi integral0^1 x cdot (-x^2 + x + 1) , dx
V = 2pi integral0^1 (-x^3 + x^2 + x) , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo:
integral (-x^3) , dx = -x^44
integral x^2 , dx = x^33
integral x , dx = x^22
Então, a integral completa fica:
V = 2pi [ -x^44 + x^33 + x^22 ]0^1

Passo 7

Calculando os valores nos limites x=1 e x=0 :
Para x=1 :
-1^44 + 1^33 + 1^22 = -14 + 13 + 12
Convertendo para o mesmo denominador:
-312 + 412 + 612 = 712
Para x=0 , todos os termos são zero.

Passo 8

Substituindo na fórmula do volume:
V = 2pi ( 712 - 0 ) = 2pi cdot 712 = 7pi6

Resposta

O volume do sólido formado é 7pi6 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados