Seja
a parte da superfície cilíndrica
que se encontra dentro do cone
,
.
Calcule
onde
é a parametrização de
. Esta superfície é orientável? Justifique;
Calcule
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão pede. Temos uma superfície
que é parte de um cilindro dado por
. Essa parte está dentro de um cone definido por
e com
. Precisamos calcular
, que é o vetor normal à superfície parametrizada por
. Além disso, precisamos verificar se essa superfície é orientável, ou seja, se conseguimos definir um vetor normal de maneira consistente em toda a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície
. Como
está no cilindro
, podemos usar coordenadas cilíndricas. Vamos definir
,
, e
, onde
varia e
é uma constante. No entanto, como há um cone limitando a superfície, precisamos encontrar os limites para
.
Passo 3
O cone é dado por
. Substituindo
e
, temos:
Isso nos ajuda a encontrar o intervalo de
onde a superfície do cilindro está dentro do cone.
Passo 4
Resolvendo a equação:
Como
, temos que
, o que implica que
deve estar entre
e
, considerando
.
Passo 5
Agora, vamos definir a parametrização
da superfície
:
onde
varia no intervalo encontrado e
varia de acordo com as restrições do cilindro e do cone.
Passo 6
Para encontrar o vetor normal
, precisamos calcular o produto vetorial das derivadas parciais da parametrização:
Calculando as derivadas:
Passo 7
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos verificar se a superfície é orientável. Uma superfície é orientável se conseguimos definir um vetor normal contínuo em toda a superfície. Como obtivemos
de forma consistente em todos os pontos da parametrização, podemos concluir que a superfície
é orientável.
Resposta
O vetor normal à superfície parametrizada
é dado por:
Além disso, a superfície
é orientável, pois conseguimos definir um vetor normal de forma contínua em toda a sua extensão.