Seja S a parte da superfície cilíndrica z^2+x^2=1 que se encontra dentro do cone z=raizx^2+y^2, z >= 0.
Calcule Nvarphi onde varphi é a parametrização de S. Esta superfície é orientável? Justifique;

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão pede. Temos uma superfície S que é parte de um cilindro dado por z^2 + x^2 = 1 . Essa parte está dentro de um cone definido por z = raizx^2 + y^2 e com z >= 0 . Precisamos calcular Nvarphi , que é o vetor normal à superfície parametrizada por varphi . Além disso, precisamos verificar se essa superfície é orientável, ou seja, se conseguimos definir um vetor normal de maneira consistente em toda a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície S . Como S está no cilindro z^2 + x^2 = 1 , podemos usar coordenadas cilíndricas. Vamos definir x = costheta , y = rsintheta , e z = sintheta , onde theta varia e r é uma constante. No entanto, como há um cone limitando a superfície, precisamos encontrar os limites para theta .

Passo 3

O cone é dado por z = raizx^2 + y^2 . Substituindo z = sintheta e x = costheta , temos:
sintheta = raizcos^2theta + y^2
Isso nos ajuda a encontrar o intervalo de theta onde a superfície do cilindro está dentro do cone.

Passo 4

Resolvendo a equação:
sin^2theta = cos^2theta + y^2
Como y^2 >= 0 , temos que sin^2theta >= cos^2theta , o que implica que theta deve estar entre pi4 e 3pi4 , considerando z >= 0 .

Passo 5

Agora, vamos definir a parametrização varphi(theta, y) da superfície S :
varphi(theta, y) = (costheta, y, sintheta)
onde theta varia no intervalo encontrado e y varia de acordo com as restrições do cilindro e do cone.

Passo 6

Para encontrar o vetor normal Nvarphi , precisamos calcular o produto vetorial das derivadas parciais da parametrização:
Nvarphi = partial varphipartial theta times partial varphipartial y
Calculando as derivadas:
partial varphipartial theta = (-sintheta, 0, costheta)
partial varphipartial y = (0, 1, 0)

Passo 7

Calculando o produto vetorial:
Nvarphi = (-sintheta, 0, costheta) times (0, 1, 0) = (-costheta, 0, -sintheta)
Simplificando:
Nvarphi = (-costheta, 0, -sintheta)

Passo 8

Agora, vamos verificar se a superfície é orientável. Uma superfície é orientável se conseguimos definir um vetor normal contínuo em toda a superfície. Como obtivemos Nvarphi de forma consistente em todos os pontos da parametrização, podemos concluir que a superfície S é orientável.

Resposta

O vetor normal à superfície parametrizada varphi é dado por:
Nvarphi = (-costheta, 0, -sintheta)
Além disso, a superfície S é orientável, pois conseguimos definir um vetor normal de forma contínua em toda a sua extensão.

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