Utilizando a técnica de integração por partes, calcule as integrais a seguir.
integral0^1 / 2 x cos (pi x) d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: precisamos calcular a integral definida de x cos(pi x) de 0 a 12 usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes e identificar quais partes da função vamos designar como u e dv .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão u e dv de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos escolher u = x . Isso porque, ao derivar u , obtemos du = dx , o que simplifica a expressão. Assim, a parte que resta é dv = cos(pi x) , dx .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar v integrando dv . Vamos integrar cos(pi x) :
v = integral cos(pi x) , dx = sin(pi x)pi

Passo 5

Substituindo u , dv , du e v na fórmula da integração por partes, temos:
integral x cos(pi x) , dx = x cdot sin(pi x)pi - integral sin(pi x)pi cdot dx

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral sin(pi x)pi , dx = -cos(pi x)pi^2

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
integral x cos(pi x) , dx = x sin(pi x)pi + cos(pi x)pi^2 + C

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 12 :
[ x sin(pi x)pi + cos(pi x)pi^2 ]0^12

Passo 9

Calculando para x = 12 :
12 sin(pi cdot 12)pi + cos(pi cdot 12)pi^2 = 12 cdot 1pi + 0pi^2 = 12pi
Calculando para x = 0 :
0 cdot sin(0)pi + cos(0)pi^2 = 0 + 1pi^2 = 1pi^2

Passo 10

Subtraindo os valores obtidos nos limites:
12pi - 1pi^2

Resposta

O valor da integral é 12pi - 1pi^2 .

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