Utilizando a técnica de integração por partes, calcule as integrais a seguir.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: precisamos calcular a integral definida de
de 0 a
usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes e identificar quais partes da função vamos designar como
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão
e
de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.
Passo 3
Vamos escolher
. Isso porque, ao derivar
, obtemos
, o que simplifica a expressão. Assim, a parte que resta é
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
integrando
. Vamos integrar
:
Passo 5
Substituindo
,
,
e
na fórmula da integração por partes, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão original:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Passo 9
Calculando para
:
Calculando para
:
Passo 10
Subtraindo os valores obtidos nos limites:
Resposta
O valor da integral é
.