Seja a parte da superfície cilíndrica que se encontra dentro do cone , .
Determine uma parametrização para ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar uma parametrização para a parte da superfície cilíndrica definida por que está dentro do cone e onde . A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especificamente o estudo de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar superfícies usando parâmetros e como as equações do cilindro e do cone se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as equações que definem o cilindro e o cone:
Cilindro: . Isso é a equação de um cilindro circular cujo eixo está alinhado com o eixo y.
Cone: . Esse é um cone de abertura com o vértice na origem e simétrico em relação ao eixo z.
Queremos a parte do cilindro que está dentro do cone e com .
Passo 3
Vamos pensar em usar coordenadas cilíndricas para facilitar a parametrização, já que estamos lidando com um cilindro e um cone. Nas coordenadas cilíndicas, um ponto é representado por , onde:
é a distância radial do eixo z.
é o ângulo em torno do eixo z.
é a coordenada vertical.
Mas, dado que a equação do cilindro é , podemos resolver para em termos de :
Passo 4
Agora, vamos relacionar isso com o cone. A equação do cone pode ser reescrita como:
Substituindo na equação do cone:
Simplificando:
Para que seja real, precisamos que :
Como , temos:
Passo 5
Agora que sabemos que , podemos parametrizar usando um ângulo que varia de a . Assim, vamos definir:
Mas, para simplificar, podemos usar diretamente o ângulo para parametrizar e , já que o cilindro é circular em torno do eixo y. Então, deixamos como função de .
Passo 6
Finalmente, nossa parametrização para a superfície [S) que está dentro do cone e no cilindro fica assim:
Onde a .
Resposta
A parametrização para a superfície [S) é dada por: