Seja S a parte da superfície cilíndrica z^2+x^2=1 que se encontra dentro do cone z=raizx^2+y^2, z >= 0.
Determine uma parametrização para S;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar uma parametrização para a parte da superfície cilíndrica definida por z^2 + x^2 = 1 que está dentro do cone z = raizx^2 + y^2 e onde z >= 0 . A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especificamente o estudo de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar superfícies usando parâmetros e como as equações do cilindro e do cone se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações que definem o cilindro e o cone:
  1. Cilindro: z^2 + x^2 = 1 . Isso é a equação de um cilindro circular cujo eixo está alinhado com o eixo y.
  2. Cone: z = raizx^2 + y^2 . Esse é um cone de abertura com o vértice na origem e simétrico em relação ao eixo z.
Queremos a parte do cilindro que está dentro do cone e com z >= 0 .

Passo 3

Vamos pensar em usar coordenadas cilíndricas para facilitar a parametrização, já que estamos lidando com um cilindro e um cone. Nas coordenadas cilíndicas, um ponto é representado por (r, theta, z) , onde:
  • r é a distância radial do eixo z.
  • theta é o ângulo em torno do eixo z.
  • z é a coordenada vertical.
Mas, dado que a equação do cilindro é z^2 + x^2 = 1 , podemos resolver para x em termos de z :
x = raiz1 - z^2

Passo 4

Agora, vamos relacionar isso com o cone. A equação do cone z = raizx^2 + y^2 pode ser reescrita como:
z^2 = x^2 + y^2
Substituindo x = raiz1 - z^2 na equação do cone:
z^2 = (1 - z^2) + y^2
Simplificando:
y^2 = 2z^2 - 1
Para que y^2 seja real, precisamos que 2z^2 - 1 >= 0 :
z^2 >= 12 implies |z| >= raiz22
Como z >= 0 , temos:
z >= raiz22

Passo 5

Agora que sabemos que z >= raiz22 , podemos parametrizar z usando um ângulo theta que varia de 0 a 2pi . Assim, vamos definir:
x = raiz1 - z^2 cos(theta)
y = raiz1 - z^2 sin(theta)
z = z
Mas, para simplificar, podemos usar diretamente o ângulo theta para parametrizar x e y , já que o cilindro é circular em torno do eixo y. Então, deixamos z como função de theta .

Passo 6

Finalmente, nossa parametrização para a superfície [S) que está dentro do cone e no cilindro fica assim:
Onde a .

Resposta

A parametrização para a superfície [S) é dada por:
Onde a .

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