Utilizando a técnica de substituição trigonométrica, calcule as integrais a seguir.
integral0^3 1raiz36-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^3 1raiz36-x^2 , dx. O assunto aqui é substituição trigonométrica, que é uma técnica para resolver integrais que têm expressões quadráticas dentro de raízes. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e fazer uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é 36 - x^2, que se parece com a identidade trigonométrica 1 - sin^2theta = cos^2theta. Para facilitar, fazemos a substituição x = 6sintheta. Isso ajuda a transformar a raiz em algo mais simples de integrar.

Passo 3

Calculamos o diferencial dx. Se x = 6sintheta, então derivando ambos os lados temos dx = 6costheta , dtheta. Isso vai substituir o dx na integral original.

Passo 4

Substituímos x e dx na integral:
integral 1raiz36 - (6sintheta)^2 cdot 6costheta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiz36 - 36sin^2theta = raiz36(1 - sin^2theta) = 6costheta
Então a integral fica:
integral 16costheta cdot 6costheta , dtheta = integral 1 , dtheta

Passo 5

Integrando 1 em relação a theta, obtemos:
theta + C
Agora, precisamos voltar para a variável original x. Sabemos que x = 6sintheta, então sintheta = x6. Isso significa que theta = arcsin(x6).

Passo 6

Aplicando os limites de integração. Quando x = 0:
theta = arcsin(06) = 0
Quando x = 3:
theta = arcsin(36) = arcsin(12) = pi6

Passo 7

Agora, avaliamos a integral de theta de 0 a pi6:
[ theta ]0^pi6 = pi6 - 0 = pi6

Resposta

A integral integral0^3 1raiz36-x^2 , dx é igual a pi6.

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