Utilizando a técnica de substituição trigonométrica, calcule as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. O assunto aqui é substituição trigonométrica, que é uma técnica para resolver integrais que têm expressões quadráticas dentro de raízes. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e fazer uma substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é
, que se parece com a identidade trigonométrica
. Para facilitar, fazemos a substituição
. Isso ajuda a transformar a raiz em algo mais simples de integrar.
Passo 3
Calculamos o diferencial
. Se
, então derivando ambos os lados temos
. Isso vai substituir o
na integral original.
Passo 4
Substituímos
e
na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então a integral fica:
Passo 5
Integrando 1 em relação a
, obtemos:
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então
. Isso significa que
.
Passo 6
Aplicando os limites de integração. Quando
:
Quando
:
Passo 7
Agora, avaliamos a integral de
de 0 a
:
Resposta
A integral
é igual a
.