Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região delimitada pelos gráficos de
f(x)=raiz25-x^2 e g(x)=3

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região limitada por
f(x)=raiz25-x^2
e
g(x)=3
O conteúdo aqui é o método dos discos (ou anéis): o volume é
V = pi integrala^b l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx,
onde R(x) é o raio externo e r(x) o raio interno.

Passo 2

Precisamos dos limites de integração (a,b), dados pelos pontos de interseção de f e g. Resolve-se
raiz25 - x^2 = 3 Longrightarrow 25 - x^2 = 9 Longrightarrow x^2 = 16 Longrightarrow x = pm 4
Logo, a = -4 e b = 4.

Passo 3

Ao girar em torno do eixo x, em cada x a região gera um anel de raio externo
R(x) = f(x) = raiz25 - x^2
e raio interno
r(x) = g(x) = 3
O volume é então
V = pi integral-4^4 l[l(raiz25 - x^2r)^2 - 3^2r],dx = pi integral-4^4 l[(25 - x^2) - 9r],dx = pi integral-4^4 (16 - x^2),dx

Passo 4

Calculamos a integral:
integral-4^4 16,dx = 16 cdot (4 - (-4)) = 16 cdot 8 = 128,
integral-4^4 x^2,dx = 2 integral0^4 x^2,dx = 2 cdot 4^33 = 1283
Portanto,
V = pi l(128 - 1283r) = pi cdot 384 - 1283 = 256pi3

Resposta

O volume do sólido é 256pi3.

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