Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
f^prime prime(x)=x^6-4 x^4+x+1

Passo 1

O enunciado pede a primitiva mais geral de
f''(x)=x^6-4x^4+x+1,
isto é, precisamos integrar essa expressão duas vezes em x. O conteúdo usado será a regra de potência para integrais indefinidas, que diz
integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C

Passo 2

Vamos primeiro encontrar f'(x) integrando f''(x):
f'(x) = integral l(x^6-4x^4+x+1r),dx = integral x^6,dx -4integral x^4,dx + integral x,dx + integral 1,dx
Aplicando a regra de potência em cada termo, obtém-se
f'(x) = x^77 - 4cdotx^55 + x^22 + x + C1 = x^77 - 4x^55 + x^22 + x + C1

Passo 3

Agora integramos f'(x) para achar f(x):
f(x) = integral f'(x),dx = integrall(x^77 - 4x^55 + x^22 + x + C1r),dx
Novamente pela regra de potência,
f(x) = x^856 - 45cdotx^66 + x^36 + x^22 + C1x + C2 = x^856 - 2x^615 + x^36 + x^22 + C1x + C2

Passo 4

Para verificar, basta derivar f'(x) e conferir se volta a f''(x):
ddxl(tfracx^77 - tfrac4x^55 + tfracx^22 + x + C1r) = x^6 - 4x^4 + x + 1 = f''(x)
Assim, a primitiva está correta.

Resposta

f(x)=x^856-2x^615+x^36+x^22+C1x+C2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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