Encontre, caso existam, as retas que passam pelo ponto (2,-3) e são tangentes à parábola f(x)=x^2+x.

Passo 1

O enunciado pede as equações das retas que passam por (2,-3) e são tangentes à parábola definida por f(x)=x^2+x.
Conteúdo: derivada para encontrar inclinação da tangente, equação da reta e condição de passagem por ponto externo.

Passo 2

Seja a a abscissa do ponto de tangência na parábola. Nesse ponto, temos coordenadas
l(a,;a^2+ar),
e a derivada de f em a é
f'(a)=2a+1
Logo, a reta tangente em x=a tem equação
y-(a^2+a)=(2a+1),(x-a)

Passo 3

Impor que essa reta passe por (2,-3). Substituindo x=2 e y=-3 na equação da tangente:
-3 - (a^2+a) = (2a+1)(2 - a)
Desenvolvendo ambos os lados:
-,l(a^2+a+3r) = -2a^2 +3a +2
Multiplicando por -1 e reorganizando:
a^2 + a + 3 = 2a^2 -3a -2 Longrightarrow a^2 -4a -5 = 0
Resolvendo:
a = 4 pm raiz16 +202 = 4 pm 62,
de onde
a=5 ou a=-1

Passo 4

Para a=5:
inclinação m1 = 2cdot5+1 = 11 e a reta é
y - (25+5) = 11,(x-5) ;Longrightarrow; y = 11x -25
Para a=-1:
inclinação m2 = 2cdot(-1)+1 = -1 e a reta é
y - (1-1) = -1,(x+1) ;Longrightarrow; y = -x -1

Resposta

As retas procuradas são
y = 11x - 25
e
y = -x - 1.

Exercícios relacionados