Exercício 4.10.3 Determine o valor da área da região definida pelas curvas y=e^{-x^{2}}, y=0, x=0 e x=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=e^{-x^{2}}, y=0, x=0 e x=1. O conteúdo aqui é cálculo de área por integração definida.

Passo 2

Para encontrar essa área, projetamos a região no eixo x. Observamos que y varia de 0 até e^{-x^{2}} para x em [0,1]. Assim, a área A é
A = \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} \, dx.

Passo 3

A primitiva de e^{-x^{2}} não pode ser expressa em termos de funções elementares. Introduzimos, então, a função erro:
\erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \, dt.
Dessa definição segue que
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\erf(1).

Passo 4

Logo,
A = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\erf(1).
Se for necessário um valor numérico, usamos \erf(1)\approx0,842700, obtendo
A \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2}\times0,842700 \approx 0,7468.

Resposta

A = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\erf(1)\approx0,7468.

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