Utilizando integração dupla, calcule a área do conjunto B dado
B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; \ln x \leq y \leq 1+\ln x, y \geq 0\right. e \left.x \leq e\right\}

Passo 1

O problema pede a área do conjunto B definido por
B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid \ln x \le y \le 1+\ln x,\; y\ge 0,\; x\le e\}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\ln x \le y \le 1+\ln x, \qquad y\ge 0, \qquad x\le e.
Observação imediata: a função \ln x só está definida para x>0, então devemos ter x>0 além da condição x\le e. A pergunta é: qual é a área da região B no plano?

Passo 2

Vamos entender para quais valores de x a faixa vertical de y é não vazia. Para um x fixo as desigualdades exigem existência de y com
\ln x \le y \le 1+\ln x \quad\text{e}\quad y\ge 0.
Isto é possível somente se a parte superior 1+\ln x for ao menos 0, caso contrário não existirá y\ge0 satisfazendo y\le 1+\ln x. Portanto precisamos de
1+\ln x \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \ln x \ge -1 \quad\Longleftrightarrow\quad x \ge e^{-1}.
Combinando com x>0 e x\le e, concluímos que as fatias verticais possíveis têm x em
e^{-1} \le x \le e.
Nota: em x=e^{-1} temos 1+\ln x=0, então só existe o ponto y=0 (medida zero), não afetando a área.

Passo 3

Agora, para descrever os limites em y para cada x em [e^{-1},e] devemos tomar o máximo entre \ln x e 0 como limite inferior (por conta de y\ge0), e 1+\ln x como limite superior. Observamos que \ln x muda de sinal em x=1. Assim esboçamos dois subintervalos em x:
  • Para e^{-1}\le x<1 temos \ln x<0, então o limite inferior é 0 e o superior é 1+\ln x. Logo as fatias verticais têm comprimento
(1+\ln x)-0 = 1+\ln x.
  • Para 1\le x\le e temos \ln x\ge 0, então o limite inferior é \ln x e o superior é 1+\ln x. O comprimento da fatia é
(1+\ln x)-\ln x = 1.
Essa divisão será usada para montar a integral dupla por fatias verticais.

Passo 4

Área de uma região B pode ser calculada por integração dupla:
\text{Área}(B)=\iint_{B} dA = \int_{x=\text{min}}^{x=\text{max}}\left(\int_{y=\text{inferior}(x)}^{y=\text{superior}(x)} dy\right) dx.Á
Usando os limites encontrados no passo anterior:
\text{Área}(B)=\int_{e^{-1}}^{1} (1+\ln x)\,dx + \int_{1}^{e} 1\,dx.Á
Explico: na primeira integral integramos a altura 1+\ln x das fatias para x\in[e^{-1},1); na segunda integramos a altura constante 1 para x\in[1,e].

Passo 5

Calcule a primeira integral. Precisamos de \int (1+\ln x)\,dx. Separe:
\int (1+\ln x)\,dx = \int 1\,dx + \int \ln x\,dx.
A primeira é trivial: \int 1\,dx = x. Para \int \ln x\,dx usamos integração por partes: escolha u=\ln x e dv=dx. Então du=\dfrac{1}{x}dx e v=x. A fórmula de integração por partes dá
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot \frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x.
Somando,
\int (1+\ln x)\,dx = x + (x\ln x - x) = x\ln x.
Agora avaliamos de x=e^{-1} até x=1:
\left[x\ln x\right]_{e^{-1}}^{1} = (1\cdot\ln 1) - \big(e^{-1}\ln e^{-1}\big) = 0 - \big(e^{-1}\cdot(-1)\big) = e^{-1}.

Passo 6

Calcule a segunda integral:
\int_{1}^{e} 1\,dx = [x]_{1}^{e} = e-1.

Passo 7

Some as duas contribuições para obter a área total:
\text{Área}(B)=e^{-1} + (e-1) = e + e^{-1} - 1.Á

Resposta

e + e^{-1} - 1

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