Utilizando integração dupla, calcule a área do conjunto
dado
e
Passo 1
O problema pede a área do conjunto
definido por
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observação imediata: a função
só está definida para
, então devemos ter
além da condição
. A pergunta é: qual é a área da região
no plano?
Passo 2
Vamos entender para quais valores de
a faixa vertical de
é não vazia. Para um
fixo as desigualdades exigem existência de
com
Isto é possível somente se a parte superior
for ao menos
, caso contrário não existirá
satisfazendo
. Portanto precisamos de
Combinando com
e
, concluímos que as fatias verticais possíveis têm
em
Nota: em
temos
, então só existe o ponto
(medida zero), não afetando a área.
Passo 3
Agora, para descrever os limites em
para cada
em
devemos tomar o máximo entre
e
como limite inferior (por conta de
), e
como limite superior. Observamos que
muda de sinal em
. Assim esboçamos dois subintervalos em
:
- Para
temos , então o limite inferior é e o superior é . Logo as fatias verticais têm comprimento
- Para
temos , então o limite inferior é e o superior é . O comprimento da fatia é
Essa divisão será usada para montar a integral dupla por fatias verticais.
Passo 4
Área de uma região
pode ser calculada por integração dupla:
Usando os limites encontrados no passo anterior:
Explico: na primeira integral integramos a altura
das fatias para
; na segunda integramos a altura constante
para
.
Passo 5
Calcule a primeira integral. Precisamos de
. Separe:
A primeira é trivial:
. Para
usamos integração por partes: escolha
e
. Então
e
. A fórmula de integração por partes dá
Somando,
Agora avaliamos de
até
:
Passo 6
Calcule a segunda integral:
Passo 7
Some as duas contribuições para obter a área total: