Uma partícula se movimenta no espaço com velocidade dada pela função horária \vec{v}(t)=3 \hat{\imath}+\left(9 t^{2}+1\right) \hat{\jmath} (no SI), dado que \vec{r}(0)=\hat{\jmath}, determine:
a) as expressões para a posição e aceleração da partícula para qualquer instante de tempo;
b) a equação da trajetória da partícula (dica y=y(x) );
c) os vetores posição, velocidade e aceleração após 1 s do início do movimento;
d) a intensidade dos vetores no início do movimento.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula e uma condição inicial. Precisamos entender claramente o que foi pedido e o que já temos.
  • Dados fornecidos:
    \vec{v}(t)=3\hat{\imath}+\bigl(9t^{2}+1\bigr)\hat{\jmath} (unidades SI).
    \vec{r}(0)=\hat{\jmath}.
    Obs.: a informação de \vec{r}(0)=\hat{\jmath} significa que, no instante t=0, as componentes da posição são x(0)=0 e y(0)=1.
  • Perguntas do problema:
    (a) Determinar as expressões para a posição \vec{r}(t) e para a aceleração \vec{a}(t) para qualquer instante t.
    (b) Determinar a equação da trajetória no plano, y=y(x).
    (c) Calcular os vetores posição, velocidade e aceleração no instante t=1\\ \text{s}.
    (d) Calcular as intensidades (módulos) desses vetores no instante inicial t=0.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática curta e necessária):
  • A velocidade é a derivada temporal da posição: \vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}.Isso significa que, para obter \vec{r}(t), integramos \vec{v}(t) em relação a t.
  • A aceleração é a derivada temporal da velocidade: \vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}.
  • Para vetores no plano, trabalhamos componente a componente. Se \vec{r}(t)=x(t)\hat{\imath}+y(t)\hat{\jmath}, então \vec{v}(t)=x'(t)\hat{\imath}+y'(t)\hat{\jmath}, \qquad \vec{a}(t)=x''(t)\hat{\imath}+y''(t)\hat{\jmath}.
  • O módulo (intensidade) de um vetor \vec{u}=u_x\hat{\imath}+u_y\hat{\jmath} é \|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^{2}+u_y^{2}}.

Passo 3

Determinar x(t) integrando a componente x da velocidade.
  • Da velocidade dada, a componente x é 3, ou seja x'(t)=3.
  • Integramos: x(t)=\int 3\,dt = 3t + C_x,
onde C_x é constante de integração.
  • Usamos a condição inicial x(0)=0 (pois \vec{r}(0)=\hat{\jmath} implica x(0)=0): 0 = x(0) = 3\cdot 0 + C_x \Rightarrow C_x=0.
  • Portanto: x(t)=3t.

Passo 4

Determinar y(t) integrando a componente y da velocidade.
  • A componente y da velocidade é 9t^{2}+1, ou seja y'(t)=9t^{2}+1.
  • Integramos termo a termo: y(t)=\int\bigl(9t^{2}+1\bigr)\,dt = \int 9t^{2}\,dt + \int 1\,dt = 3t^{3}+t + C_y,onde C_y é constante de integração.
  • Usamos y(0)=1 (pois \vec{r}(0)=\hat{\jmath} implica y(0)=1): 1 = y(0) = 3\cdot 0^{3} + 0 + C_y \Rightarrow C_y=1.
  • Portanto: y(t)=3t^{3}+t+1.

Passo 5

Juntar as componentes para obter \vec{r}(t) e calcular \vec{a}(t).
  • A posição como vetor é: \vec{r}(t)=x(t)\hat{\imath}+y(t)\hat{\jmath}=3t\hat{\imath}+\bigl(3t^{3}+t+1\bigr)\hat{\jmath}.
  • Para a aceleração, derivamos \vec{v}(t) componente a componente:
    • Derivada de 3 em relação a t é 0.
    • Derivada de 9t^{2}+1 é 18t.
  • Logo: \vec{a}(t)=0\hat{\imath}+18t\hat{\jmath}=18t\hat{\jmath}.

Passo 6

Encontrar a equação da trajetória y=y(x).
  • Temos x(t)=3t. Isolando t: t=\frac{x}{3}.
  • Substituímos na expressão de y(t): y=3\left(\frac{x}{3}\right)^{3}+\left(\frac{x}{3}\right)+1.
  • Simplificando: y=3\cdot\frac{x^{3}}{27}+\frac{x}{3}+1=\frac{x^{3}}{9}+\frac{x}{3}+1.
  • Portanto a trajetória no plano cartesiano é: y=\frac{x^{3}}{9}+\frac{x}{3}+1.

Passo 7

Calcular \vec{r}(1), \vec{v}(1) e \vec{a}(1) (valores em t=1\\ \text{s}).
  • posição: \vec{r}(1)=3\cdot 1\\ \hat{\imath} + \bigl(3\cdot 1^{3}+1+1\bigr)\hat{\jmath}=3\hat{\imath}+5\hat{\jmath}.
  • velocidade (substituir t=1 em \vec{v}(t)): \vec{v}(1)=3\hat{\imath}+\bigl(9\cdot 1^{2}+1\bigr)\hat{\jmath}=3\hat{\imath}+10\hat{\jmath}.
  • aceleração (substituir t=1 em \vec{a}(t)): \vec{a}(1)=18\cdot 1\\ \hat{\jmath}=18\hat{\jmath}.

Passo 8

Calcular as intensidades (módulos) dos vetores no instante inicial t=0.
  • Primeiro identifique os vetores em t=0: \vec{r}(0)=\hat{\jmath},\qquad \vec{v}(0)=3\hat{\imath}+1\hat{\jmath},\qquad \vec{a}(0)=18\cdot 0\\ \hat{\jmath}=\vec{0}.
  • Agora os módulos:
    • Módulo de \vec{r}(0): \|\vec{r}(0)\|=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1\\ \text{m}.
    • Módulo de \vec{v}(0): \|\vec{v}(0)\|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}\\ \text{m/s}.
    • Módulo de \vec{a}(0): \|\vec{a}(0)\|=\| \vec{0} \| =0\\ \text{m/s}^{2}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{r}(t)=3t\hat{\imath}+\bigl(3t^{3}+t+1\bigr)\hat{\jmath},\qquad \vec{a}(t)=18t\hat{\jmath}.
(b) \displaystyle y=\frac{x^{3}}{9}+\frac{x}{3}+1.
(c) \displaystyle \vec{r}(1)=3\hat{\imath}+5\hat{\jmath},\qquad \vec{v}(1)=3\hat{\imath}+10\hat{\jmath},\qquad \vec{a}(1)=18\hat{\jmath}.
(d) \displaystyle \|\vec{r}(0)\|=1\\ \text{m},\qquad \|\vec{v}(0)\|=\sqrt{10}\\ \text{m/s},\qquad \|\vec{a}(0)\|=0\\ \text{m/s}^{2}.

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