Uma partícula se movimenta no espaço com velocidade dada pela função horária
(no SI), dado que
, determine:
a) as expressões para a posição e aceleração da partícula para qualquer instante de tempo;
b) a equação da trajetória da partícula (dica
);
c) os vetores posição, velocidade e aceleração após
do início do movimento;
d) a intensidade dos vetores no início do movimento.
a) as expressões para a posição e aceleração da partícula para qualquer instante de tempo;
b) a equação da trajetória da partícula (dica
c) os vetores posição, velocidade e aceleração após
d) a intensidade dos vetores no início do movimento.
Passo 1
O enunciado dá a velocidade da partícula e uma condição inicial. Precisamos entender claramente o que foi pedido e o que já temos.
-
Dados fornecidos:
(unidades SI).
.
Obs.: a informação designifica que, no instante , as componentes da posição são e . -
Perguntas do problema:
(a) Determinar as expressões para a posiçãoe para a aceleração para qualquer instante .
(b) Determinar a equação da trajetória no plano,.
(c) Calcular os vetores posição, velocidade e aceleração no instante.
(d) Calcular as intensidades (módulos) desses vetores no instante inicial.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática curta e necessária):
- A velocidade é a derivada temporal da posição:
Isso significa que, para obter , integramos em relação a . - A aceleração é a derivada temporal da velocidade:
- Para vetores no plano, trabalhamos componente a componente. Se
, então - O módulo (intensidade) de um vetor
é
Passo 3
Determinar
integrando a componente
da velocidade.
- Da velocidade dada, a componente
é , ou seja . - Integramos:
onde
é constante de integração.
- Usamos a condição inicial
(pois implica ): - Portanto:
Passo 4
Determinar
integrando a componente
da velocidade.
- A componente
da velocidade é , ou seja . - Integramos termo a termo:
onde é constante de integração. - Usamos
(pois implica ): - Portanto:
Passo 5
Juntar as componentes para obter
e calcular
.
- A posição como vetor é:
- Para a aceleração, derivamos
componente a componente: - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
é .
- Derivada de
- Logo:
Passo 6
Encontrar a equação da trajetória
.
- Temos
. Isolando : - Substituímos na expressão de
: - Simplificando:
- Portanto a trajetória no plano cartesiano é:
Passo 7
Calcular
,
e
(valores em
).
- posição:
- velocidade (substituir
em ): - aceleração (substituir
em ):
Passo 8
Calcular as intensidades (módulos) dos vetores no instante inicial
.
- Primeiro identifique os vetores em
: - Agora os módulos:
- Módulo de
: - Módulo de
: - Módulo de
:
- Módulo de
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)