Um móvel se desloca em linha reta obedecendo a função horária v(t)=3 t^{2}-4 t (no SI), determine:
a posição do móvel em t=2 \mathrm{~s}, sabendo que x(0)=2 \mathrm{~m};

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a posição do móvel em t=2\\ \mathrm{s}, sabendo a função horária da velocidade v(t)=3t^{2}-4t (no SI) e que a posição inicial é x(0)=2\\ \mathrm{m}.
Informações dadas:
v(t)=3t^{2}-4t,
x(0)=2\\ \mathrm{m},
queremos x(2).

Passo 2

Conceito-chave para começar: velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se x(t) é a posição, então
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Para recuperar a posição a partir da velocidade usamos integrais: a posição em um tempo t é a posição inicial mais a integral da velocidade entre 0 e t. Isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo. Em fórmula:
x(t)=x(0)+\int_{0}^{t} v(s)\,ds.
Aqui troquei a variável de integração para s para não confundir com o limite t. Essa é a ferramenta que vamos usar.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula ao nosso caso. Substituindo v(s)=3s^{2}-4s na integral:
x(2)=x(0)+\int_{0}^{2}\bigl(3s^{2}-4s\bigr)\,ds.
Lembre que para calcular uma integral indefinida usamos as regras de antiderivação:
  • \displaystyle \int s^{n}\,ds=\frac{s^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • A integral de uma soma é a soma das integrais e constantes fator podem sair da integral.

Passo 4

Calculemos as antiderivadas termo a termo:
\int 3s^{2}\,ds = 3\cdot\frac{s^{3}}{3}=s^{3},
\int -4s\,ds = -4\cdot\frac{s^{2}}{2}=-2s^{2}.
Portanto uma antiderivada de 3s^{2}-4s é s^{3}-2s^{2}.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida usando a antiderivada encontrada e aplicando os limites de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\bigl(3s^{2}-4s\bigr)\,ds = \Bigl[s^{3}-2s^{2}\Bigr]_{0}^{2}.
Calcule os valores:
\Bigl[s^{3}-2s^{2}\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(2^{3}-2\cdot2^{2}\bigr)-\bigl(0^{3}-2\cdot0^{2}\bigr) = (8-8)-0 = 0.

Passo 6

Então a integral da velocidade entre 0 e 2\\ \mathrm{s} é 0. Isso significa que o deslocamento líquido no intervalo [0,2] é zero — o móvel andou para um lado e depois voltou de maneira que a soma algébrica dos deslocamentos deu zero. (Se quiser intuir isso, veja que v(t)=3t^{2}-4t=t(3t-4) muda de sinal em t=0 e t=\tfrac{4}{3}, ou seja, houve movimento em sentido negativo e depois em sentido positivo que se cancelaram.)
Agora somamos com a posição inicial:
x(2)=x(0)+0=2\\ \mathrm{m}.

Resposta

x(2)=2\\ \mathrm{m}

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