Um móvel se desloca em linha reta obedecendo a função horária
(no SI), determine:
a posição do móvel em
, sabendo que
;
a posição do móvel em
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a posição do móvel em
, sabendo a função horária da velocidade
(no SI) e que a posição inicial é
.
Informações dadas:
queremos
.
Passo 2
Conceito-chave para começar: velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se
é a posição, então
Para recuperar a posição a partir da velocidade usamos integrais: a posição em um tempo
é a posição inicial mais a integral da velocidade entre
e
. Isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo. Em fórmula:
Aqui troquei a variável de integração para
para não confundir com o limite
. Essa é a ferramenta que vamos usar.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula ao nosso caso. Substituindo
na integral:
Lembre que para calcular uma integral indefinida usamos as regras de antiderivação:
-
para . - A integral de uma soma é a soma das integrais e constantes fator podem sair da integral.
Passo 4
Calculemos as antiderivadas termo a termo:
Portanto uma antiderivada de
é
.
Passo 5
Agora avaliamos a integral definida usando a antiderivada encontrada e aplicando os limites de
a
:
Calcule os valores:
Passo 6
Então a integral da velocidade entre
e
é
. Isso significa que o deslocamento líquido no intervalo
é zero — o móvel andou para um lado e depois voltou de maneira que a soma algébrica dos deslocamentos deu zero. (Se quiser intuir isso, veja que
muda de sinal em
e
, ou seja, houve movimento em sentido negativo e depois em sentido positivo que se cancelaram.)
Agora somamos com a posição inicial: