Use integral dupla para calcular o volume sob a superfície z=x^2+y^2 e os planos x=-2, x=2, y= -2, e z=0. Faça um esboço do sólido.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície z = x^2 + y^2 acima do plano z=0 e pelos planos verticais x=-2, x=2, y=-2 e y=2. O conteúdo é cálculo de volume via integral dupla, precisaremos montar integral duplaR (x^2+y^2),dA sobre a região R no plano xy.

Passo 2

A região R é um quadrado no plano xy:
R = (x,y)mid -2<= x<=2,,-2<= y<=2
Logo o volume é
V = integral duplaR (x^2 + y^2),dA = integralx=-2^2!integraly=-2^2 (x^2 + y^2),dy,dx
Como x^2+y^2 se separa em termos de x e y, escrevemos
integral-2^2!integral-2^2 (x^2 + y^2),dy,dx = integral-2^2!integral-2^2 x^2,dy,dx + integral-2^2!integral-2^2 y^2,dy,dx

Passo 3

Calculamos cada termo:
integral-2^2!integral-2^2 x^2,dy,dx = integral-2^2 x^2l[yr]y=-2^2,dx = 4integral-2^2 x^2,dx = 4cdotx^33|-2^2 = 4cdot163 = 643,
integral-2^2!integral-2^2 y^2,dy,dx = integral-2^2l[y^33r]-2^2,dx = integral-2^2 163,dx = 163cdot4 = 643

Passo 4

Somando os dois resultados, obtemos
V = 643 + 643 = 1283

Passo 5

Esboço do sólido: imagine um paraboloide de revolução z=x^2+y^2 “recortado” pelas paredes verticais x=pm2, y=pm2 e apoiado no plano z=0. A projeção no plano xy é um quadrado de lado 4, e sobre ele ergue-se a “tigela” parabólica.

Resposta

V = 1283

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