Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2 <= 1 e pelos planos z=y+1 e z=y+3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica dentro do cilindro x^2+y^2<=1 e entre os planos z=y+1 (inferior) e z=y+3 (superior). O conteúdo é cálculo de volume por integral dupla, usando que V=integral duplaD (zsup-zinf),dA.

Passo 2

A diferença entre os dois planos é constante: zsup-zinf=(y+3)-(y+1)=2. Portanto o volume vira
V=integral duplaD2,dA

Passo 3

Para avaliar essa integral, é natural usar coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. O disco x^2+y^2<=1 vira 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi. Então
V=integral0^2piintegral0^12,r,dr,dtheta

Passo 4

Basta calcular: primeiro em r:
integral0^12r,dr=2cdot12=1,
e depois em theta:
V=1cdotintegral0^2pidtheta=2pi

Resposta

2pi

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