Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Seja z=x^2 y^3, x=s cos t, y=s sen t, partial z / partial s e partial z / partial t.

Passo 1

O enunciado dá
z = x^2y^3, x = scos t, y = ssin t
e pede as derivadas parciais partial z/partial s e partial z/partial t.
O conteúdo aqui é a Regra da Cadeia em funções compostas z(x,y) com x(s,t), y(s,t).

Passo 2

Calcular primeiro as derivadas parciais de z em relação a x e y:
partial zpartial x = 2x,y^3, partial zpartial y = 3x^2,y^2

Passo 3

Agora as derivadas de x e y em relação a s e t:
partial xpartial s = cos t, partial ypartial s = sin t, partial xpartial t = -,ssin t, partial ypartial t = scos t

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia para partial z/partial s:
partial zpartial s = partial zpartial xpartial xpartial s + partial zpartial ypartial ypartial s = 2x,y^3cos t ;+;3x^2,y^2sin t

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia para partial z/partial t:
partial zpartial t = partial zpartial xpartial xpartial t + partial zpartial ypartial ypartial t = 2x,y^3(-ssin t) ;+;3x^2,y^2(scos t) = -2s,x,y^3sin t ;+;3s,x^2,y^2cos t

Passo 6

Substituindo x=scos t e y=ssin t e simplificando:
partial zpartial s =2(scos t)(ssin t)^3cos t+3(scos t)^2(ssin t)^2sin t =5s^4cos^2t,sin^3t,
partial zpartial t =-2s(scos t)(ssin t)^3sin t+3s(scos t)^2(ssin t)^2cos t =-2s^4cos t,sin^4t+3s^5cos^3t,sin^2t

Resposta

partial zpartial s=5s^4cos^2t,sin^3t, partial zpartial t=-2s^4cos t,sin^4t+3s^5cos^3t,sin^2t

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