Calcule o volume do sólido limitado:
pelos parabolóides
pelos parabolóides
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelos paraboloides
e
Conteúdo: cálculo de volume via integração dupla projetada no plano
. Vamos precisar determinar a região de projeção e integrar a diferença entre a superfície superior e a inferior.
Passo 2
Encontramos a curva de interseção igualando as duas expressões de
:
Logo, a projeção
no plano
é a elipse
Passo 3
O volume é
Passo 4
Para simplificar a região elíptica, usamos a mudança
com jacobiano
. Em coordenadas
,
vira
,
. No integrando:
Portanto,
Passo 5
Calculando a integral em
:
Logo,