Calcule o volume do sólido limitado:
pelos parabolóides z=9 x^2+y^2 e z=18-9 x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelos paraboloides
z = 9x^2 + y^2
e
z = 18 - 9x^2 - y^2
Conteúdo: cálculo de volume via integração dupla projetada no plano xy. Vamos precisar determinar a região de projeção e integrar a diferença entre a superfície superior e a inferior.

Passo 2

Encontramos a curva de interseção igualando as duas expressões de z:
9x^2 + y^2 = 18 - 9x^2 - y^2
18x^2 + 2y^2 = 18
9x^2 + y^2 = 9
Logo, a projeção D no plano xy é a elipse
9x^2 + y^2 <= 9

Passo 3

O volume é
V = integral duplaD l(ztopo - zfundor),dx,dy = integral duplaD l[(18 -9x^2-y^2) - (9x^2+y^2)r],dx,dy = integral duplaD l(18 - 18x^2 - 2y^2r),dx,dy

Passo 4

Para simplificar a região elíptica, usamos a mudança
x = rcostheta, y = 3rsintheta,
com jacobiano J = 3r. Em coordenadas (r,theta), D vira 0 <= r <= 1, 0 <= theta < 2pi. No integrando:
18 - 18x^2 - 2y^2 = 18 - 18r^2cos^2theta - 2,(9r^2sin^2theta) = 18l(1 - r^2r)
Portanto,
V = integral0^2pi!integral0^1 18l(1 - r^2r),(3r),dr,dtheta = 54 integral0^2pi!integral0^1 l(r - r^3r),dr,dtheta

Passo 5

Calculando a integral em r:
integral0^1 (r - r^3),dr = [tfracr^22 - tfracr^44]0^1 = tfrac12 - tfrac14 = tfrac14
Logo,
V = 54 cdot integral0^2pi tfrac14 ,dtheta = tfrac544 cdot 2pi = 27pi

Resposta

27pi

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