Descreva as superfícies cuja equação é dada em coordenadas esféricas
r=sen(theta) sen(varphi).

Passo 1

O enunciado dá em coordenadas esféricas a equação
r = sin(theta),sin(varphi)
e pede que a gente descreva geometricamente a superfície correspondente em R^3. Para isso, vamos usar as fórmulas de conversão entre coordenadas esféricas (r,theta,varphi) e cartesianas (x,y,z).

Passo 2

Lembrando que
x = r,sin(theta)cos(varphi), y = r,sin(theta)sin(varphi), z = r,cos(theta),
podemos isolar sin(theta) e sin(varphi) em função de x,y,z e r.

Passo 3

Note que
sin(theta) = raizx^2 + y^2r, sin(varphi) = yraizx^2 + y^2
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sin(theta),sin(varphi) = raizx^2+y^2r;yraizx^2+y^2 = yr

Passo 4

Substituindo esse resultado na equação esférica r = sin(theta)sin(varphi) obtemos
r = yr Longrightarrow r^2 = y

Passo 5

Como em coordenadas cartesianas r^2 = x^2 + y^2 + z^2, a relação r^2 = y vira
x^2 + y^2 + z^2 = y Longrightarrow x^2 + y^2 - y + z^2 = 0
Completando o quadrado em y:
x^2 + l(y - tfrac12r)^2 + z^2 = tfrac14

Passo 6

Essa é a equação de uma esfera de centro l(0,tfrac12,0r) e raio tfrac12. Além disso, como r>=0 e r^2=y, temos y>=0, o que coincide com o fato de essa esfera ficar inteiramente no semiespaço y>=0 (ela é tangente ao plano y=0 em (0,0,0)).

Resposta

A superfície é a esfera de centro l(0,tfrac12,0r) e raio tfrac12, dada por
x^2 + l(y - tfrac12r)^2 + z^2 = tfrac14

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