Descreva as superfícies cuja equação é dada em coordenadas esféricas
varphi=pi / 3.

Passo 1

O enunciado pede para descrever geometricamente a superfície dada em coordenadas esféricas por
varphi = pi/3.
Aqui o conteúdo é coordenadas esféricas: em termos de (rho,theta,varphi), temos
x = rho sinvarphicostheta, y = rho sinvarphisintheta, z = rho cosvarphi
Vamos usar essas definições para passar ao sistema cartesiano e identificar a superfície.

Passo 2

Substituímos varphi = pi/3 nas fórmulas:
z = rhocosl(pi/3r) = rhocdot12,
raizx^2+y^2 = rhosinl(pi/3r) = rhocdotraiz32

Passo 3

Da segunda igualdade temos
rho = 2raiz3,raizx^2+y^2
Substituindo na expressão de z, obtemos
z = 12cdot2raiz3,raizx^2+y^2 ;Longrightarrow; z = 1raiz3,raizx^2+y^2

Passo 4

A equação
z = 1raiz3,raizx^2+y^2
é justamente a de um cone circular com vértice na origem, cujo eixo é o eixo z e que faz ângulo pi/3 entre as geratrizes e o eixo z. O parâmetro theta varia em [0,2pi) e rho>=0.

Resposta

A superfície é um cone circular de vértice na origem e semi-ângulo de pi/3 em relação ao eixo z. Em coordenadas cartesianas:
z = 1raiz3,raizx^2+y^2

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