Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies:
z=raiz4-x^2-y^2, x^2+y^2+z^2=2 y com z >= 0 e z=raizx^2+y^23

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas três superfícies
z = raiz4 - x^2 - y^2, x^2 + y^2 + z^2 = 2y, z = raizx^2+y^23,
com z>=0.
Aqui usamos coordenadas esféricas (rho,phi,theta) onde
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi
e o elemento de volume é rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.

Passo 2

Em esféricas cada superfície fica simples:
a) A esfera de raio 2 é
rho = 2
b) A esfera x^2+y^2+z^2=2y vira
rho^2 = 2,rhosinphisintheta Longrightarrow rho = 2sinphisintheta
c) O cone z=raiztfracx^2+y^23
rhocosphi = tfrac1raiz3,rhosinphi Longrightarrow tanphi = raiz3 Longrightarrow phi = pi3

Passo 3

O sólido é a parte do interior da esfera rho<=2, acima do cone phi<=pi/3, e externamente à esfera menor rho=2sinphisintheta.
Uma maneira eficaz é ver esse volume como
V = Vgrande-seção ; - ; Vpequena-seção, çãçã
onde
Vgrande-seçãoçã é o volume da região rho<=2, phi<=pi/3 e
Vpequena-seçãoçã é o volume da região rho<=2sinphisintheta, phi<=pi/3.

Passo 4

Calcular
Vgrande-seção = integraltheta=0^2pi!integralphi=0^pi/3!integralrho=0^2 rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta çã
A integral em rho integral0^2rho^2,drho=8/3, em phi integral0^pi/3sinphi,dphi=1-cos(pi/3)=1/2, e em theta é 2pi. Logo,
Vgrande-seção = 83,times12,times2pi = 8pi3 çã

Passo 5

Calcular
Vpequena-seção = integraltheta=0^pi!integralphi=0^pi/3!integralrho=0^2sinphisintheta rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta çã
A integral em rho é l(2sinphisinthetar)^3/3. Fica
Vpequena-seção = integral0^pi!integral0^pi/3 8,sin^3phisin^3theta3,sinphi,dphi,dtheta = 83 l(integral0^pisin^3theta,dthetar) l(integral0^pi/3sin^4phi,dphir) çã
Sabendo que integral0^pisin^3theta,dtheta=4/3 e
integral0^pi/3sin^4phi,dphi = pi8 - 9raiz364,
temos
Vpequena-seção = 83cdot43!l(pi8-9raiz364r) = 4pi9-raiz32 çã

Passo 6

Finalmente
V = Vgrande-seção - Vpequena-seção = 8pi3 ; - ;l(4pi9-raiz32r) = 20pi9 + raiz32 çãçã

Resposta

V = 20pi9 + raiz32

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