Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies:
com
e
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas três superfícies
com
.
Aqui usamos coordenadas esféricas onde
Aqui usamos coordenadas esféricas
e o elemento de volume é
.
Passo 2
Em esféricas cada superfície fica simples:
a) A esfera de raio é
a) A esfera de raio
b) A esfera
vira
c) O cone
dá
Passo 3
O sólido é a parte do interior da esfera
, acima do cone
, e externamente à esfera menor
.
Uma maneira eficaz é ver esse volume como
Uma maneira eficaz é ver esse volume como
onde
é o volume da região
,
e
é o volume da região
,
.
Passo 4
Calcular
A integral em
dá
, em
dá
, e em
é
. Logo,
Passo 5
Calcular
A integral em
é
. Fica
Sabendo que
e
,
temos
temos
Passo 6
Finalmente