Mostre que sen y=e^i y-e^-i y2 i

Passo 1

Beleza, vamos nessa! A questão pede pra gente mostrar que sin y = e^i y - e^-i y2 i. O conteúdo aqui envolve números complexos e a famosa Fórmula de Euler. Pra resolver, a gente vai precisar entender como expressar funções trigonométricas usando exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Fórmula de Euler, que liga números complexos com funções trigonométricas. A fórmula diz que:
e^i y = cos y + i sin y
E também sua versão com negativo no expoente:
e^-i y = cos y - i sin y

Passo 3

Agora, vamos subtrair essas duas equações pra eliminar o cos y:
e^i y - e^-i y = (cos y + i sin y) - (cos y - i sin y)
Isso simplifica pra:
e^i y - e^-i y = 2 i sin y

Passo 4

Queremos isolar sin y, então vamos dividir ambos os lados da equação por 2 i:
sin y = e^i y - e^-i y2 i

Resposta

Assim, mostramos que sin y = e^i y - e^-i y2 i.

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