Verifique as seguintes identidades (use um sistema retangular):
a cdot(a times b)=0 e b cdot(a times b)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas identidades para verificar usando um sistema retangular. As identidades são:
a cdot (a times b) = 0
e
b cdot (a times b) = 0
Isso está relacionado com produtos vetoriais e escalares na matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver, vamos usar as definições dessas operações e calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial a times b. Em um sistema retangular, se a = (ax, ay, az) e b = (bx, by, bz), então:
a times b = (ay bz - az by, , az bx - ax bz, , ax by - ay bx)

Passo 3

Agora, vamos calcular a cdot (a times b). O produto escalar de dois vetores u = (ux, uy, uz) e v = (vx, vy, vz) é:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz
Aplicando isso a a e a times b:
a cdot (a times b) = ax (ay bz - az by) + ay (az bx - ax bz) + az (ax by - ay bx)

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
= ax ay bz - ax az by + ay az bx - ay ax bz + az ax by - az ay bx
Observamos que cada termo cancela com outro:
ax ay bz - ay ax bz = 0
-ax az by + az ax by = 0
ay az bx - az ay bx = 0
Portanto, todo o resultado é zero.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda identidade: b cdot (a times b).
Utilizando a mesma abordagem, temos:
b cdot (a times b) = bx (ay bz - az by) + by (az bx - ax bz) + bz (ax by - ay bx)

Passo 6

Simplificando essa expressão:
= bx ay bz - bx az by + by az bx - by ax bz + bz ax by - bz ay bx
Mais uma vez, vemos que cada termo cancela com outro:
bx ay bz - bz ay bx = 0
- bx az by + by az bx = 0
- by ax bz + bz ax by = 0
Então, todo o resultado também é zero.

Resposta

Conseguimos verificar que ambas as identidades são verdadeiras:
a cdot (a times b) = 0
e
b cdot (a times b) = 0

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