Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies:
y=1-x^2, z=0, y=0 e y+z=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido cujo contorno é dado por
,z=0, ,y=0, ,y=1-x^2 e ,y+z=2.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integral tripla. Vamos projetar o sólido no plano xy e usar a ordem dz,dy,dx.

Passo 2

Para cada ponto (x,y) da projeção, z varia de 0 até a superfície ,z=2-y. As outras restrições são
y>=0, y<=1-x^2,
e para que 1-x^2>=0 precisamos de -1<= x<=1.
Logo, a região projetada no plano xy é
-1<= x<=1, 0<= y<=1-x^2

Passo 3

O volume é
V = integralx=-1^1!!integraly=0^1-x^2!!integralz=0^2-ydz,dy,dx
Primeiro integramos em z:
integralz=0^2-ydz = 2-y,
ficando
V = integral-1^1!integral0^1-x^2(2-y),dy,dx

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^1-x^2(2-y),dy = l[2y-tfracy^22r]0^1-x^2 =2(1-x^2)-tfrac(1-x^2)^22
Expandindo,
2(1-x^2)-tfrac1-2x^2+x^42 = tfrac32-x^2-tfracx^42
Portanto
V = integral-1^1l(tfrac32-x^2-tfracx^42r)dx

Passo 5

A função dentro da integral é par, então
V = 2integral0^1l(tfrac32-x^2-tfracx^42r)dx =2l[tfrac32x-tfracx^33-tfracx^510r]0^1 =2l(tfrac32-tfrac13-tfrac110r)
Calculando:
tfrac32-tfrac13-tfrac110 =tfrac45-10-330 =tfrac3230 =tfrac1615,
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V=2cdottfrac1615=tfrac3215

Resposta

boxedtfrac3215

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