Verifique as seguintes identidades (use um sistema retangular):
(a times b) cdot(c times d)+(b times c) cdot(a times d)+(c times a) cdot(b times d)=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade
(atimes b)cdot(ctimes d) +(btimes c)cdot(atimes d) +(ctimes a)cdot(btimes d) =0
O conteúdo necessário é a propriedade do produto escalar de produtos vetoriais (produto misto duplo) em coordenadas retangulares. Vamos usar a identidade
(xtimes y)cdot(utimes v) =(xcdot u)(ycdot v) -(xcdot v)(ycdot u)

Passo 2

Aplicando essa identidade ao primeiro termo, com x=a, y=b, u=c, v=d, obtemos
(atimes b)cdot(ctimes d) =(acdot c)(bcdot d) -(acdot d)(bcdot c)

Passo 3

Para o segundo termo, use x=b, y=c, u=a, v=d, e vem
(btimes c)cdot(atimes d) =(bcdot a)(ccdot d) -(bcdot d)(ccdot a)

Passo 4

No terceiro termo, tome x=c, y=a, u=b, v=d. Assim
(ctimes a)cdot(btimes d) =(ccdot b)(acdot d) -(ccdot d)(acdot b)

Passo 5

Somando os três resultados, a expressão fica
l[(acdot c)(bcdot d) +(bcdot a)(ccdot d) +(ccdot b)(acdot d)r] - l[(acdot d)(bcdot c) +(bcdot d)(ccdot a) +(ccdot d)(acdot b)r]
Cada produto escalar é comutativo ( ucdotv=vcdotu), de modo que o primeiro colchete coincide termo a termo com o segundo colchete. Logo, a diferença é zero.

Resposta

A soma é igual a 0, conforme a identidade pedida.

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