(2 pontos) Calcule o comprimento de arco da curva \gamma(t)=t \overrightarrow{\mathbf{i}}+\frac{t^{2}}{2} \overrightarrow{\mathbf{j}}, 0 \leq t<2.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
\gamma(t)=t\,\overrightarrow{\mathbf{i}}+\frac{t^{2}}{2}\,\overrightarrow{\mathbf{j}}
no intervalo 0\le t\le2.
O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva parametrizada em \mathbb{R}^2, cuja fórmula é
L=\int_{a}^{b}\|\gamma'(t)\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada de \gamma:
\gamma'(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr)=(1,t).
A norma dessa derivada é
\|\gamma'(t)\|=\sqrt{1^{2}+t^{2}}=\sqrt{1+t^{2}}.
Logo o comprimento de arco é
L=\int_{0}^{2}\sqrt{1+t^{2}}\;dt.

Passo 3

Precisamos da primitiva de \sqrt{1+t^{2}}. Uma forma padrão (por substituição trigonométrica t=\operatorname{sinh} u) leva a
\int \sqrt{1+t^{2}}\;dt =\frac{t\sqrt{1+t^{2}}}{2} +\frac{1}{2}\ln\bigl(t+\sqrt{1+t^{2}}\bigr) +C.

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a 2:
L=\left[\frac{t\sqrt{1+t^{2}}}{2} +\frac{1}{2}\ln\bigl(t+\sqrt{1+t^{2}}\bigr)\right]_{0}^{2}.
Em t=2 isso dá
\frac{2\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr) =\sqrt{5}+\frac{1}{2}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr),
e em t=0 a expressão vale zero porque \ln(1)=0. Portanto
L=\sqrt{5}+\frac{1}{2}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).

Resposta

L=\sqrt{5}+\frac{1}{2}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).

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