Calcule o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta x=-2, a região limitada pelas curvas dadas pelas equações y^{2}-x^{3} cdot y=0\(e\)x=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta x=-2, a região do plano limitada pelas curvas
y^{2}-x^{3}y=0
e x=4. O conteúdo que vamos usar é o método das cascas cilíndricas, já que giramos em torno de uma reta vertical e é mais simples integrar em x.

Passo 2

Primeiro, identificar a região no plano. A equação
y^{2}-x^{3}y=0
fatora como
y\,(y - x^{3}) = 0,
logo as curvas são
y=0 \quad\text{e}\quad y = x^{3}.
Elas se intersectam em x=0. Com x=4 como borda vertical, a região é
0 \le x \le 4, \quad 0 \le y \le x^{3}.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, escolhemos uma casca em x de espessura dx.
  • O raio da casca até a reta x=-2 é
R(x) = x - (-2) = x + 2.
  • A altura da casca é a diferença entre as y-curvas:
h(x) = x^{3} - 0 = x^{3}.
Assim, o elemento de volume é
dV = 2\pi\,R(x)\,h(x)\,dx = 2\pi\,(x+2)\,x^{3}\,dx
e o volume total é
V = 2\pi \int_{0}^{4} (x+2)\,x^{3}\,dx.

Passo 4

Expandindo e integrando:
(x+2)\,x^{3} = x^{4} + 2x^{3},
então
\int_{0}^{4} (x^{4} + 2x^{3})\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{5}}{5} + \tfrac{2x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{4} = \frac{4^{5}}{5} + \frac{2\cdot4^{4}}{4} = \frac{1024}{5} + 128 = \frac{1024+640}{5} = \frac{1664}{5}.
Multiplicando por 2\pi, obtemos
V = 2\pi \cdot \frac{1664}{5} = \frac{3328\pi}{5}.

Resposta

\frac{3328\pi}{5}.

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