Vamos calcular a derivada mista \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} da função dada:
f(x, y)=y \operatorname{sen}(x)+4 x^{4} y+2 y^{3}-\ln \left(y^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial mista \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}
para a função
f(x,y)=y\,\sin(x)+4x^{4}y+2y^{3}-\ln\bigl(y^{2}+1\bigr).
O procedimento mais direto é primeiro calcular \partial f/\partial y (tratando x como constante) e em seguida derivar esse resultado em relação a x.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
  • \partial (y\,\sin(x))/\partial y = \sin(x).
  • \partial (4x^{4}y)/\partial y = 4x^{4}.
  • \partial (2y^{3})/\partial y = 6y^{2}.
  • \partial \bigl[-\ln(y^{2}+1)\bigr]/\partial y = -\frac{1}{y^{2}+1}\cdot 2y = -\frac{2y}{y^{2}+1}.
    Logo,
\frac{\partial f}{\partial y} =\sin(x)+4x^{4}+6y^{2}-\frac{2y}{y^{2}+1}.

Passo 3

Agora derivamos o resultado acima em relação a x, isto é, \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\frac{\partial f}{\partial y}\bigr):
  • \partial \sin(x)/\partial x = \cos(x).
  • \partial (4x^{4})/\partial x = 16x^{3}.
  • Os termos 6y^{2} e -2y/(y^{2}+1) são constantes em relação a x, então viram zero.
    Portanto,
\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} =\cos(x)+16x^{3}.

Resposta

\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}(x,y) =\cos(x)+16x^{3}.

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