Encontre o valor do limite:
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{3}-x^{2}-x+10}{x^{2}+3 x+2}=

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -2}\frac{x^{3}-x^{2}-x+10}{x^{2}+3x+2}.
Estamos no tópico de limites de funções racionais e vamos precisar verificar indeterminações e usar fatoração para simplificar a expressão antes de aplicar a substituição direta.

Passo 2

Primeiro tentamos a substituição direta x=-2. No numerador:
(-2)^{3}-(-2)^{2}-(-2)+10 = -8 -4 +2 +10 = 0.
No denominador:
(-2)^{2}+3(-2)+2 = 4 -6 +2 = 0.
Logo temos forma indeterminada 0/0, então precisamos simplificar o quociente.

Passo 3

Fatoramos o denominador e o numerador. O denominador é
x^{2}+3x+2 = (x+2)(x+1).
Como o numerador anula em x=-2, ele também tem fator (x+2). Fazemos divisão de polinômios de x^{3}-x^{2}-x+10 por (x+2) (síntese de coeficientes: -2 | 1\,-1\,-1\,10 → quociente x^{2}-3x+5 e resto 0). Assim
x^{3}-x^{2}-x+10 = (x+2)\bigl(x^{2}-3x+5\bigr).

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração, para x\neq -2:
\frac{x^{3}-x^{2}-x+10}{x^{2}+3x+2} =\frac{(x+2)(x^{2}-3x+5)}{(x+2)(x+1)} =\frac{x^{2}-3x+5}{x+1}.
Agora fazemos x\to -2 diretamente:
\frac{(-2)^{2}-3(-2)+5}{-2+1} =\frac{4+6+5}{-1} =\frac{15}{-1} =-15.

Resposta

-15

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