Calcule o volume do sólido obtido pela rotação:
do conjunto de pontos R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 1 \leq y \leq e^{x}\right. e \left.0 \leq x \leq 1\right\} em torno de oy;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo oy a região
R = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le1,\\\ 1\le y\le e^x\}.
O conteúdo é volume de revolução; vamos usar o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Tomamos uma fatia vertical em x com espessura \,dx. Ao girar em torno de oy:
– o raio da casca é x,
– a altura da casca é e^x - 1,
– a espessura é dx.

Passo 3

Pela fórmula do método das cascas cilíndricas, o volume é
V = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(\text{raio}\bigr)\times\bigl(\text{altura}\bigr)\,dx = 2\pi \int_{0}^{1} x\,(e^x - 1)\,dx.

Passo 4

Dividimos a integral:
\int_{0}^{1} x\,(e^x - 1)\,dx = \int_{0}^{1} x e^x\,dx \;-\;\int_{0}^{1} x\,dx.
  1. Para \displaystyle\int_{0}^{1} x e^x\,dx, uso integração por partes com u=x, dv=e^x dx:
\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = e^x(x-1)+C
avaliando de 0 a 1 dá
\bigl[e^x(x-1)\bigr]_{0}^{1} = \bigl[e\cdot0 - (1\cdot(-1))\bigr] = 1.
  1. Para \displaystyle\int_{0}^{1} x\,dx = \frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{1} = \tfrac12. Logo
\int_{0}^{1} x\,(e^x - 1)\,dx = 1 - \tfrac12 = \tfrac12.

Passo 5

Substituindo em V = 2\pi \times \tfrac12, obtemos
V = \pi.

Resposta

V = \pi
– unidades de volume.

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