Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
\gamma_{1}(t)=t \vec{\imath}+\left(t^{2}-4\right) \vec{\jmath}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a trajetória da partícula P cuja função de posição em parâmetro t é
\gamma_{1}(t)=t\,\vec{\imath}+\bigl(t^{2}-4\bigr)\,\vec{\jmath}.
O conteúdo é estudo de curvas paramétricas no plano. Vamos eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana, identificar o tipo de curva e descrever seus elementos (vértice, concavidade e orientação do movimento).

Passo 2

Escrevemos as coordenadas paramétricas:
x(t)=t,\qquad y(t)=t^{2}-4.
Como x=t, temos t=x. Substituindo em y:
y = x^{2} - 4.

Passo 3

A equação
y = x^{2} - 4
é a de uma parábola com concavidade para cima.

Passo 4

Para identificar o vértice e o eixo de simetria, note que a forma padrão é y=(x-0)^{2}-4. Logo:
Vértice em (0,-4).
Eixo de simetria é a reta x=0.
Não há restrição em t, portanto a parábola inteira para x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Quanto à orientação do movimento, como x=t, para t crescendo a partícula vai do “lado esquerdo” (quando t\to -\infty) passando pelo vértice em t=0 e subindo pelo “lado direito” (quando t\to+\infty).

Resposta

A trajetória é a parábola
y = x^{2} - 4
com vértice em (0,-4), concavidade para cima e movimento da esquerda para a direita à medida que t aumenta.

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