Calcule o volume do sólido obtido pela rotação:
da curva y=x^{2}-7 x+10,1 \leq x \leq 7 em torno do eixo \circ y.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
y = x^{2} - 7x + 10,\quad 1 \le x \le 7
e pede o volume do sólido gerado pela rotação da região R limitada pela própria curva, pelas retas x=1, x=7 e pelo eixo x, em torno do eixo y. O conteúdo principal aqui é o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, cada elemento de volume é um cilindro de espessura dx, cujo raio é a distância do eixo y até o ponto de abscissa x (ou seja, raio =x) e cuja altura é y=f(x). A fórmula geral é
V = \int_{a}^{b} 2\pi\,(\text{raio})\times(\text{altura})\,dx \;=\; 2\pi \int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx.

Passo 3

Aqui a=1, b=7 e f(x)=x^{2}-7x+10, logo
V = 2\pi \int_{1}^{7} x\bigl(x^{2}-7x+10\bigr)\,dx = 2\pi \int_{1}^{7}\bigl(x^{3}-7x^{2}+10x\bigr)\,dx.

Passo 4

Vamos achar a antiderivada de x^{3}-7x^{2}+10x. Temos
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4},\quad \int (-7x^{2})\,dx = -\frac{7x^{3}}{3},\quad \int 10x\,dx = 5x^{2}.
Logo
\int \bigl(x^{3}-7x^{2}+10x\bigr)\,dx = \frac{x^{4}}{4} - \frac{7x^{3}}{3} + 5x^{2}.
Avaliando de 1 a 7:
\left[\frac{x^{4}}{4} - \frac{7x^{3}}{3} + 5x^{2}\right]_{1}^{7} = \Bigl(\frac{7^{4}}{4} - \frac{7\cdot7^{3}}{3} + 5\cdot7^{2}\Bigr) - \Bigl(\frac{1^{4}}{4} - \frac{7\cdot1^{3}}{3} + 5\cdot1^{2}\Bigr) = 42.

Passo 5

Substituindo no volume:
V = 2\pi \times 42 = 84\pi.

Resposta

V = 84\pi

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