Esboçar a trajetória de uma partícula
, sabendo que seu movimento é descrito por:
Passo 1
O enunciado pede o esboço da trajetória de uma partícula
cujo movimento no plano é dado por
O conteúdo envolve curvas paramétricas e sua representação gráfica. Vamos converter para a forma cartesiana, identificar tipo de curva (aqui é uma parábola), achar vértice, interceptos e orientação do movimento.
Passo 2
Escrevendo as coordenadas paramétricas como funções de
:
Como
, substituímos em
e obtemos a equação cartesiana
que é uma parábola em função de
.
Passo 3
Para achar o vértice da parábola
, usamos a fórmula do vértice
com
e
:
O valor de
no vértice é
Logo o vértice fica em
e, como
, a parábola é côncava para baixo.
Passo 4
Encontramos os pontos em que a curva intercepta os eixos:
- Intercepto com o eixo
ponto
.
2. Interceptos com o eixo :
2. Interceptos com o eixo
pontos
.
Passo 5
Analisando a orientação para
,
e
(a parábola desce à esquerda), depois a partícula sobe até o vértice em
, e então desce novamente para
quando
. Ou seja, o movimento vai da parte inferior esquerda, sobe ao vértice, e depois desce à direita.
Passo 6
Para esboçar a trajetória:
- Trace o eixo
e . - Marque o vértice em
. - Marque os interceptos
, e . - Desenhe a parábola côncava para baixo passando por esses pontos.
- Indique a seta no sentido de
crescente: da esquerda para o vértice, depois para a direita.
Resposta
A trajetória de
é a parábola de equação
com vértice em
, interceptos em
,
e
, côncava para baixo, e percorre-se da esquerda para a direita conforme
aumenta.