Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
\gamma_{2}(t)=t \vec{\imath}+\left(-t^{2}-t+2\right) \vec{\jmath}

Passo 1

O enunciado pede o esboço da trajetória de uma partícula P cujo movimento no plano é dado por
\gamma_{2}(t)=t\,\vec\imath+\bigl(-t^{2}-t+2\bigr)\,\vec\jmath,\quad t\in\mathbb{R}.
O conteúdo envolve curvas paramétricas e sua representação gráfica. Vamos converter para a forma cartesiana, identificar tipo de curva (aqui é uma parábola), achar vértice, interceptos e orientação do movimento.

Passo 2

Escrevendo as coordenadas paramétricas como funções de t:
x(t)=t,\qquad y(t)=-t^{2}-t+2.
Como t=x, substituímos em y(t) e obtemos a equação cartesiana
y=-x^{2}-x+2,
que é uma parábola em função de x.

Passo 3

Para achar o vértice da parábola y=-x^{2}-x+2, usamos a fórmula do vértice x_v=-\tfrac{b}{2a} com a=-1 e b=-1:
x_v = -\frac{-1}{2\cdot(-1)} = -\frac{1}{-2} = -\tfrac12.
O valor de y no vértice é
y_v = -\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2} -\bigl(-\tfrac12\bigr)+2 = -\tfrac14 + \tfrac12 + 2 = \tfrac{9}{4}.
Logo o vértice fica em \bigl(-\tfrac12,\tfrac{9}{4}\bigr) e, como a=-1<0, a parábola é côncava para baixo.

Passo 4

Encontramos os pontos em que a curva intercepta os eixos:
  1. Intercepto com o eixo y x=0\): \[y(0) = -0^{2}-0+2 = 2,
ponto (0,2).
2. Interceptos com o eixo x y=0:
-x^{2}-x+2=0 \;\Longrightarrow\; x^{2}+x-2=0 \;\Longrightarrow\; x=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\begin{cases}1,\\\ -2,\end{cases}
pontos (1,0)\] e \((-2,0).

Passo 5

Analisando a orientação para t\to -\infty, x(t)\to -\infty e y(t)\to -\infty (a parábola desce à esquerda), depois a partícula sobe até o vértice em t=-\tfrac12, e então desce novamente para (+\infty,-\infty) quando t\to+\infty. Ou seja, o movimento vai da parte inferior esquerda, sobe ao vértice, e depois desce à direita.

Passo 6

Para esboçar a trajetória:
  • Trace o eixo x e y.
  • Marque o vértice em \bigl(-\tfrac12,\tfrac{9}{4}\bigr).
  • Marque os interceptos (-2,0), (1,0) e (0,2).
  • Desenhe a parábola côncava para baixo passando por esses pontos.
  • Indique a seta no sentido de t crescente: da esquerda para o vértice, depois para a direita.

Resposta

A trajetória de P é a parábola de equação
y=-x^{2}-x+2,
com vértice em \bigl(-\tfrac12,\tfrac{9}{4}\bigr), interceptos em (-2,0), (1,0) e (0,2), côncava para baixo, e percorre-se da esquerda para a direita conforme t aumenta.

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