O volume V de uma esfera pode ser obtido a partir do diâmetro d determinado experimentalmente. Mostrar que a incerteza \sigma_{V} no volume é obtida por
\frac{\sigma_{V}}{V}=3 \frac{\sigma_{d}}{d}

Passo 1

O enunciado pede para relacionar a incerteza no volume de uma esfera com a incerteza no seu diâmetro. O conteúdo é propagação de erros via derivada, aproveitando que o volume V é função do diâmetro d.

Passo 2

Escrevemos a fórmula do volume em função de d:
V(d)=\frac{\pi}{6}\,d^{3}.

Passo 3

Pela propagação de incertezas, usamos a aproximação linear
\sigma_{V}\approx\left|\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}d}\right|\,\sigma_{d}.
Calculando a derivada,
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}d} =\frac{\pi}{6}\cdot 3\,d^{2} =\frac{\pi}{2}\,d^{2},
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\sigma_{V} =\frac{\pi}{2}\,d^{2}\,\sigma_{d}.

Passo 4

Para obter a incerteza relativa, dividimos por V:
\frac{\sigma_{V}}{V} =\frac{\displaystyle\frac{\pi}{2}d^{2}\,\sigma_{d}} {\displaystyle\frac{\pi}{6}d^{3}} =\frac{\pi/2}{\pi/6}\,\frac{d^{2}}{d^{3}}\,\sigma_{d} =3\,\frac{\sigma_{d}}{d}.

Resposta

\frac{\sigma_{V}}{V}=3\,\frac{\sigma_{d}}{d}.

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