Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y do conjunto
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2} \leq y \leq \sqrt{x} \text { e } 0 \leq x \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado nos pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2\le y\le\sqrt{x},\;0\le x\le1\}.
O conteúdo aqui é cálculo de volumes de sólidos de revolução; vamos usar o método das cascas cilíndricas, porque estamos girando em torno do eixo vertical y e a região está dada em função de x.

Passo 2

Primeiro identificamos as curvas que limitam A:
- A parte de baixo é y=x^2.
- A parte de cima é y=\sqrt{x}.
Elas se intersectam em
x^2 = \sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad x^4 = x \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=1.
Então A vai de x=0 até x=1, com altura vertical
\text{altura}(x)=\sqrt{x}-x^2.

Passo 3

Pela fórmula das cascas cilíndricas, cada casca a distância x do eixo y tem raio x, altura \sqrt{x}-x^2 e espessura dx. Assim o volume é
V = 2\pi \int_{x=0}^{1} \bigl(\text{raio}\bigr)\,\bigl(\text{altura}\bigr)\,dx =2\pi\int_{0}^{1} x\bigl(\sqrt{x}-x^2\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos o integral:
2\pi\int_{0}^{1} \bigl(x^{3/2}-x^3\bigr)\,dx =2\pi\Bigl[\frac{x^{5/2}}{5/2}-\frac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} =2\pi\Bigl(\frac{2}{5}-\frac{1}{4}\Bigr) =2\pi\cdot\frac{3}{20} =\frac{3\pi}{10}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle \frac{3\pi}{10}.

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