a) Por que a integral \int_{1}^{2} \frac{d x}{x^{2}-5 x+6} d x é imprópria?
b) Verifique se a integral anterior é convergente.

Passo 1

O enunciado pede dois pontos sobre a integral
\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^{2}-5x+6}\,.
(a) justificar por que ela é imprópria; (b) verificar se ela converge.
O conteúdo aqui é integral imprópria por descontinuidade do integrando num ponto do intervalo, e vamos usar fatoração do denominador, frações parciais e limite.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3).
As raízes são x=2 e x=3. Como x=2 pertence ao intervalo de integração [1,2], o integrando fica indefinido em x=2, tornando a integral imprópria.

Passo 3

Para estudar a convergência, escrevemos
\int_{1}^{2} \frac{dx}{(x-2)(x-3)} = \lim_{t\to2^-} \int_{1}^{t} \frac{dx}{(x-2)(x-3)}.
Em seguida, decompomos em frações parciais:
\frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}.
Resolvendo 1 = A(x-3) + B(x-2) A=-1 e B=1, ou seja
\frac{1}{(x-2)(x-3)} = -\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-3}.

Passo 4

Agora calculamos a primitiva
\int \frac{dx}{(x-2)(x-3)} = \int\Bigl(-\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-3}\Bigr)dx = -\ln\lvert x-2\rvert + \ln\lvert x-3\rvert + C.

Passo 5

Avaliamo-la de 1 a t<2:
\int_{1}^{t} \frac{dx}{(x-2)(x-3)} = \Bigl[-\ln\lvert x-2\rvert + \ln\lvert x-3\rvert\Bigr]_{1}^{t} = \bigl(-\ln|t-2| + \ln|t-3|\bigr) - \bigl(-\ln|1-2| + \ln|1-3|\bigr).
Quando t\to2^-, temos \ln|t-2|\to -\infty e portanto
-\ln|t-2|\to +\infty. Isso faz o valor da integral crescer sem limite, ou seja, diverge.

Resposta

(a) É imprópria porque o denominador zera em x=2, extremo do intervalo.
(b) A integral diverge (não é convergente).

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