a) Por que a integral
é imprópria?
b) Verifique se a integral anterior é convergente.
b) Verifique se a integral anterior é convergente.
Passo 1
O enunciado pede dois pontos sobre a integral
(a) justificar por que ela é imprópria; (b) verificar se ela converge.
O conteúdo aqui é integral imprópria por descontinuidade do integrando num ponto do intervalo, e vamos usar fatoração do denominador, frações parciais e limite.
O conteúdo aqui é integral imprópria por descontinuidade do integrando num ponto do intervalo, e vamos usar fatoração do denominador, frações parciais e limite.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador
As raízes são
e
. Como
pertence ao intervalo de integração
, o integrando fica indefinido em
, tornando a integral imprópria.
Passo 3
Para estudar a convergência, escrevemos
Em seguida, decompomos em frações parciais:
Resolvendo
dá
e
, ou seja
Passo 4
Agora calculamos a primitiva
Passo 5
Avaliamo-la de
a
:
Quando
, temos
e portanto
. Isso faz o valor da integral crescer sem limite, ou seja, diverge.
Resposta
(a) É imprópria porque o denominador zera em
, extremo do intervalo.
(b) A integral diverge (não é convergente).
(b) A integral diverge (não é convergente).