Encontre uma equação para o plano tange e para a reta normal à superfície de cada item no ponto especificado: ( 2 pontos)
x y z=6,(3,2,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície dada implicitamente por xyz=6, no ponto (3,2,1). Para isso, vamos usar o gradiente da função
F(x,y,z)=xyz-6
já que a normal ao plano tangente é \nabla F e a reta normal passa pelo ponto na direção desse vetor.

Passo 2

Calculamos o gradiente de F:
\nabla F(x,y,z) =\Bigl(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\Bigr) =(yz,\;xz,\;xy).
No ponto (3,2,1), temos
\nabla F(3,2,1)=(2\cdot1,\;3\cdot1,\;3\cdot2)=(2,3,6).

Passo 3

A equação do plano tangente é dada por
\nabla F(3,2,1)\cdot\bigl((x,y,z)-(3,2,1)\bigr)=0.
Substituindo,
2(x-3)+3(y-2)+6(z-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x+3y+6z-18=0.

Passo 4

A reta normal passa por (3,2,1) na direção do vetor normal (2,3,6). Uma forma paramétrica é
\begin{cases} x=3+2t,\\\ y=2+3t,\\\ z=1+6t. \end{cases}

Resposta

Plano tangente:
2(x-3)+3(y-2)+6(z-1)=0.
Reta normal:
x=3+2t,\quad y=2+3t,\quad z=1+6t.

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