Uma imobiliária está oferecendo as seguintes opçōes de pagamentos para a venda de um terreno:
Plano A: 10 parcelas de \ 10.000,00+10 de$12.500,00+10 de$ 15.000,00$.
Plano B: \ 25.000,00 de entrada +30 de$11.000,00 . Plano C: 10 prestações trimestrais de \(\\) 35.000,00, sendo a primeira paga no ato da assinatura do contrato.
Admitindo uma táxa de juros de 3% ao més, apontar qual o melhor e qual o pior dos très planos dados para o comprador potencial

Passo 1

Resumindo o enunciado: há três planos de pagamento para um terreno e queremos, à taxa de juros compostos de 3 % ao mês, calcular o valor presente de cada plano e, assim, determinar qual é o mais vantajoso (menor valor presente) e qual é o menos vantajoso (maior valor presente). O conteúdo aqui é desconto composto e anuidade.

Passo 2

Vamos começar pelo Plano A, que tem 30 prestações mensais distribuídas em três blocos de 10 pagamentos cada um, nos valores de 10 000, 12 500 e 15 000. Chamando
i = 0{,}03,\quad v = \frac{1}{1+i}=\frac{1}{1,03},
e definindo a anuidade de 10 termos
a_{\overline{10}|}=\frac{1 - v^{10}}{i},
o valor presente do primeiro bloco (10 pagamentos de 10 000 nos meses 1 a 10) é
PV_{A1}=10\,000\;a_{\overline{10}|}.
O segundo bloco começa no mês 11, então temos desconto extra de v^{10}:
PV_{A2}=12\,500\;v^{10}\;a_{\overline{10}|},
e o terceiro bloco (valores de 15 000 nos meses 21 a 30) tem fator v^{20}:
PV_{A3}=15\,000\;v^{20}\;a_{\overline{10}|}.
Logo,
PV_A = PV_{A1}+PV_{A2}+PV_{A3}.

Passo 3

Agora calculamos numericamente. Primeiro
v = \frac{1}{1,03}\approx0{,}970874,\quad v^{10}\approx0{,}74409,\quad v^{20}\approx0{,}55365,
a_{\overline{10}|}=\frac{1 - 0{,}74409}{0{,}03}\approx8{,}5303.
Assim
PV_{A1}=10\,000\times8{,}5303\approx85\,303,
PV_{A2}=12\,500\times0{,}74409\times8{,}5303\approx79\,380,
PV_{A3}=15\,000\times0{,}55365\times8{,}5303\approx70\,856,
PV_A\approx85\,303+79\,380+70\,856=235\,539.

Passo 4

Para o Plano B, há entrada de 25 000 à vista (mês 0) e 30 prestações mensais de 11 000, ou seja
PV_B = 25\,000 + 11\,000\;a_{\overline{30}|},
onde
a_{\overline{30}|}=\frac{1 - v^{30}}{i}.

Passo 5

Calculando
v^{30}=(v^{10})^3\approx0{,}74409^3\approx0{,}412,
a_{\overline{30}|}=\frac{1 - 0{,}412}{0{,}03}\approx19{,}600,
PV_B=25\,000 + 11\,000\times19{,}600\approx25\,000 + 215\,600=240\,600.

Passo 6

No Plano C são 10 prestações trimestrais de 35 000, com a primeira no ato (mês 0). A taxa trimestral equivalente é
i_q=(1{,}03)^3 - 1\approx0{,}092727,
e o desconto por trimestre é
v_q=\frac{1}{1+i_q}\approx0{,}9151.
Como a primeira prestação é em t=0 e há mais 9 ao longo de 9 trimestres, o valor presente é
PV_C = 35\,000\sum_{k=0}^{9}v_q^k =35\,000\;\frac{1 - v_q^{10}}{1 - v_q}.

Passo 7

Numericamente
v_q^{10}\approx0{,}9151^{10}\approx0{,}412,\quad 1 - v_q\approx0{,}0849,
\frac{1 - v_q^{10}}{1 - v_q}=\frac{0{,}588}{0{,}0849}\approx6{,}928,
PV_C=35\,000\times6{,}928\approx242\,480.

Passo 8

Comparando os valores presentes:
PV_A\approx235\,539,\quad PV_B\approx240\,600,\quad PV_C\approx242\,480.
O menor valor presente é do Plano A, sendo, portanto, o melhor para o comprador, e o maior valor presente é do Plano C, sendo o pior.

Resposta

O melhor plano para o comprador é o Plano A; o pior é o Plano C.

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