Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
(a)
e
.
(b)
e
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região ao redor do eixo
. A região está dividida em duas partes:
(a) Para
e
.
(b) Para
e
.
Vamos usar o método dos discos ou dos anéis para encontrar esses volumes. Precisaremos integrar as áreas das seções transversais ao longo do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte (a):
e
.
Quando giramos essa região em torno do eixo
, cada “fatia” perpendicular ao
forma um disco. A fórmula para o volume usando discos é:
Aqui,
, e os limites de integração são de 1 a 4.
Passo 3
Vamos calcular o volume da parte (a):
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b):
e
.
Aqui, ao girar em torno do eixo
, formamos um anel (ou washer), porque há um espaço vazio no meio. A fórmula para o volume usando anéis é:
Nesse caso,
e
, com limites de 0 a 1.
Passo 5
Vamos calcular o volume da parte (b):
Simplificando:
Passo 6
Finalmente, para encontrar o volume total do sólido, somamos os volumes das duas partes:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação é
unidades cúbicas.