Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x, y) tais que
(a) 1 <= x <= 4 e 0 <= y <= raizx.
(b) 0 <= x <= 1 e raizx <= y <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região ao redor do eixo x . A região está dividida em duas partes:
(a) Para 1 <= x <= 4 e 0 <= y <= raizx .
(b) Para 0 <= x <= 1 e raizx <= y <= 3 .
Vamos usar o método dos discos ou dos anéis para encontrar esses volumes. Precisaremos integrar as áreas das seções transversais ao longo do eixo x .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte (a): 1 <= x <= 4 e 0 <= y <= raizx .
Quando giramos essa região em torno do eixo x , cada “fatia” perpendicular ao x forma um disco. A fórmula para o volume usando discos é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 dx
Aqui, f(x) = raizx , e os limites de integração são de 1 a 4.

Passo 3

Vamos calcular o volume da parte (a):
Va = pi integral1^4 (raizx)^2 dx = pi integral1^4 x , dx
Simplificando:
Va = pi [ x^22 ]1^4 = pi ( 4^22 - 1^22 ) = pi ( 162 - 12 ) = pi ( 8 - 0,5 ) = pi times 7,5 = 7,5pi

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): 0 <= x <= 1 e raizx <= y <= 3 .
Aqui, ao girar em torno do eixo x , formamos um anel (ou washer), porque há um espaço vazio no meio. A fórmula para o volume usando anéis é:
V = pi integrala^b ( [fexterno(x)]^2 - [finterno(x)]^2 ) dx
Nesse caso, fexterno(x) = 3 e finterno(x) = raizx , com limites de 0 a 1.

Passo 5

Vamos calcular o volume da parte (b):
Vb = pi integral0^1 ( 3^2 - (raizx)^2 ) dx = pi integral0^1 ( 9 - x ) dx
Simplificando:
Vb = pi [ 9x - x^22 ]0^1 = pi ( 9(1) - 1^22 - (0 - 0) ) = pi ( 9 - 0,5 ) = pi times 8,5 = 8,5pi

Passo 6

Finalmente, para encontrar o volume total do sólido, somamos os volumes das duas partes:
Vtotal = Va + Vb = 7,5pi + 8,5pi = 16pi

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação é 16pi unidades cúbicas.

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